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Espacios con un número finito, infinito, transfinito de Dimensiones Notas Fernando Galindo Soria Tenayuca, Ciudad de México, a 4 de Octubre del 2011 *************************************************************** *************************************************************** 20111004 Puntos, números, elementos *************************************************************** 1 dimensión 1 dimensión con n elementos finitos ********************************* 1 dimensión con n elementos discretos infinitos, por ejemplo N ********************************* 1 dimensión con un número continuo de elementos, por ejemplo R Los elementos no necesariamente deben estar contiguos, por ejemplo 2x, x elemento de R, no necesariamente deben ser descritos por una función, por ejemplo un conjunto transfinito de números aleatorios (no pseudoaleatorios) *************** Un segmento de curva en 1 dimensión puede estar formado por una serie discretas, infinitas o transfinitas de números El segmento puede tener una longitud finita, infinita o transfinita (Por ejemplo el segmento que representa a R tiene una longitud transfinita, o el segmento [0, 1] tiene una longitud finita) Entonces podemos tener por ejemplo segmentos con un numero transfinito de elementos y una longitud finita, como el segmento [0, 1] *************************************************************** El elemento u objeto puede tener una dimensión y el espacio donde se encuentra puede tener una dimensión diferente Por ejemplo, un punto (dimensión cero) puede estar en un espacio de 3 dimensiones o 20 dimensiones o con un número infinito de dimensiones o con un número transfinito de dimensiones *************************************************************** *************************************************************** Equivalencia entre espacios con varias Dimensiones 20111018 Si tengo un espacio discreto de 2 dimensiones se puede
visualizar de múltiples formas Como un espacio de 2 dimensiones X y Y Como varios espacios de 1 dimensión Si lo veo como un espacio de 2 dimensiones X, Y, donde X tienen cardinalidad nX y Y tiene cardinalidad nY (o sea que en X se pueden tomar nX valores y en Y se tienen nY valores) entonces ese espacio lo puedo ver como varias matrices de 1 dimensión. Por ejemplo, si se tiene la matriz A de 3 renglones y 4 columnas, la puedo ver como 3 matrices de 1 renglón con 4 elementos cada uno La matriz A 3 5 2 4 6 3 8 9 1 5 4 3 Se puede ver como las 3 matrices A1 3 5 2 4 A2 6 3 8 9 A3 1 5 4 3 O rebanando la matriz para que queden 4 rebanadas de X A.1 A.2 A.3 A.4
3 5 2 4 6 3 8 9 1 5 4 3 De la misma forma una matriz de 3 dimensiones X, Y, Z donde
la cardinalidad de Z es nZ, se puede ver como nZ matrices de 2 dimensiones Por ejemplo, si tenemos una matriz de 3 dimensiones con 5 *
3 * 4 elementos la podemos ver como un cubo de 3 dimensiones, o como cuatro planos,
rebanadas o matrices de 5 * 3 34576 87358 49071 32739 12563 68926 52834 48763 42891 35673 69584 76767 En general cualquier espacio de 3 dimensiones y a * b * c elementos, se puede rebanar en c subespacios de dimensión a * b. O en a subespacios de dimensión b * c. o en b subespacios de dimensión a * c. En general cualquier espacio de dimensión D y a1 * a2 * a3 * a4……..* aD elementos, se puede rebanar en aD subespacios de dimensión D-1 y a1 * a2 * a3 * a4……..* aD-1 elementos en cada subespacios. Un espacio E con un número finito, infinito o transfinito de dimensiones, donde una de las dimensiones
D está formada por un número finito de elementos nd
se puede representar mediante nd espacios Ei donde
cada Ei es el subespacio de E que corresponde al i esino
elemento de D. Un espacio E con un numero
finito, infinito o transfinito de dimensiones,
donde una de las dimensiones D tiene una cardinalidad xd,
se puede representar mediante xd espacios Ei donde
cada Ei es el subespacio de E que corresponde al i esino
elemento de D. ********************************* Es por eso por lo que una matriz se puede representar
dentro de la computadora como un vector (en una memoria lineal) o por lo que
se pueden transmitir imágenes en forma secuencial o,… Polinomio de direccionamiento Si tengo un espacio discreto de 2 dimensiones, puedo representarlo como un espacio discreto de una dimensión mediante una transformación conocida como polinomio de direccionamiento, de la forma Suponiendo un espacio de 2 dimensiones discretas X*Y Para cualquier elemento xij ,xij elemento de X*Y, se tiene un elemento xk en un espacio de una dimensión al que llamaremos XY k se obtiene con la ecuación k = j*n + i, donde n es la cardinalidad de X y xk = xij *************** Si tengo 2 espacios lineales de magnitud finita X y Y donde el espacio X tiene un numero finito de elementos y Y tiene un numero transfinito de elementos (como por ejemplo [0, 1]), cualquier punto en X*Y lo puedo transformar a un punto en un espacio lineal XY con un polinomio de direccionamiento k = j*n + i, donde n es la cardinalidad de X y xk = xij *************************************************************** |