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Instituto
Politécnico Nacional Escuela
Superior de Computo (ESCOM) ACERCA
DEL CONTINUO DIMENSIONAL Un
Universo Fractal Fernando Galindo Soria Tel. 57296000 x 52027 fgalindo@vmredipn.ipn.mx Cd. de México, 22 de Noviembre de 1998 Espacio continuo dimensional, Es un espacio en el cual se tienen
tantas dimensiones como números reales, es decir es un espacio donde no se tienen 1,2,..o n dimensiones
sino un numero transfinito de dimensiones se puede ver como un continuo de dimensiones en forma parecida a
como una recta se ve como un continuo de puntos. A mediados de los 70´s el investigador de la IBM,
Benoit B. Mandelbrot estudio un tipo de objetos que tienen la característica de que sus partes se
parecen al todo y los englobo con el nombre genérico de fractales, si se toma una piedra y se estrella contra el suelo
cada uno de los fragmentos resultantes se pueden ver como piedras, si se toma
una rama de un árbol y se siembra aparentemente lo que se obtiene es un
árbol, en fin si se toma un fragmento de muchos otros objetos de la
naturaleza como los ríos, rayos, montañas, etc., se obtiene algo parecido al
objeto completo. En general se considera que los fractales tienen dos características fundamentales: la autosimilaridad
que es precisamente la propiedad de que un fragmento
sea parecido al todo la dimensión
fractal, esta segunda característica surge porque al calcular
la dimensión de los objetos fractales normalmente no resulta un numero
entero, con lo cual y de golpe nos cambia radicalmente nuestra concepción de
la realidad, ya que, normalmente estamos acostumbrados a pensar en objetos de
1, 2, 3 o mas dimensiones, pero siempre dimensiones enteras, por lo que es
difícil conceptualizar objetos con dimensiones fraccionarias, como por ejemplo 1.66 ó 2.87. cada vez se han encontrado más fenómenos en los
cuales las ecuaciones o modelos toman en cuenta la dimensión fractal del
problema, en Física se encontró que la ecuación que describe
la relación entre la forma de un objeto y el sonido que emite al ser tocado
depende de la dimensión fractal del objeto, ya que, cuando se utilizaban las
dimensiones enteras aproximadas los resultados no eran aceptables. Es decir que se han encontrado fenómenos dentro de
la Física cuyo comportamiento depende de la dimensión fractal y estos
fenómenos se describen asumiendo que existen dimensiones fraccionarias y por
tal motivo que se desarrollan en un espacio que se describe en termino de
dimensiones no enteras Polvos
de Cantor Se construyen tomando una recta, dividiéndola en
tres partes iguales, quitándole la parte central y aplicándole a cada una de
las rectas resultantes nuevamente el algoritmo,
Los polvos de Cantor en el limite están formados por
un numero enorme de segmentos de recta a los que se les ha quitado la tercera
parte pero que no llegan a ser puntos. Estos y otros problemas en los cuales no es fácil
decidir si el fractal tiene dimensión 1 o 2, 2 o 3, ó 1 o 3 ha obligado a los investigadores ha buscar
métodos para encontrar la dimensión
fractal. En general se considera que la dimensión fractal mide
que tanto ocupan los objeto el espacio, o que tan densos o tenues son, por ejemplo si se tiene un objeto dentro de una
esfera la dimensión fractal de este objeto indica una relación entre el
espacio de la esfera y el espacio ocupado por el objeto, por ejemplo si los objetos son árboles, en un
extremo se puede tener una rama que ocupa muy poco volumen de la esfera y que
tiene dimensión cercana a 1, en el otro extremo se puede tener un árbol muy
denso, que ocupa prácticamente toda la esfera y que tiene dimensión tres y en medio se tienen todos los demás arboles que ni
son esféricos ni lineales y que tiene una dimensión intermedia entre uno y
tres. Otro ejemplo donde se visualiza directamente como la dimensión de un
objeto puede variar de un momento a otro me fue proporcionado por Antonio Jimenez Aviña consiste en
tomar un liquido (como agua o café), cuando el liquido se encuentra en una
taza ocupa un volumen y su dimensión es de 3, ahora bien, si tomamos el liquido y lo derramamos
sobre una superficie el espacio que ocupa es mas planar que volumétrico y su
dimensión es cercana a 2, o sea que el mismo liquido en un momento ocupa un
espacio de 3 dimensiones y en el otro uno cercano a 2 existe una gran cantidad de fenómenos y ecuaciones
que tienen como parámetro la dimensión de lo que modelan. el espacio que ocupan una linea circulo o esfera se puede ver caracterizado
respectivamente por su longitud L, área A y volumen V, si suponemos que los tres objetos tienen el mismo
radio r entonces las ecuaciones que representan al espacio ocupado son
o sea que el espacio ocupado por una linea, circulo
o esfera se puede encontrar en general como una función de la dimensión del
objeto. existen propiedades de la naturaleza ( como el espacio ocupado) que se pueden calcular mediante
una ecuación en la cual uno de los parámetros es la dimensión de los objetos
involucrados, ahora bien si se empiezan a observar distintas áreas
de estudio, se empieza a encontrar que la dimensión de los objetos es una
propiedad presente en múltiples fenómenos de la naturaleza , como por
ejemplo en las ecuaciones que relacionan la forma de un objeto y el sonido
que emite, sin embargo por su misma cotidianidad resulta
transparente y en su momento no nos preocupamos ni de calcularla ni de usarla
correctamente. Comúnmente cuando necesitamos usar la dimensión de
un objeto dentro de una ecuación la asignamos por observación ( o es
lineal, planar o volumétrica), con lo cual
se puede llegar a asignar una dimensión errónea a los objetos, como es el caso
de los aerogeles o sea geles ( como los flanes, gelatinas, etc.) a los cuales se les han sustituido los líquidos por
aire, pero se ha mantenido su estructura, donde si los ve uno en principio
son objetos en tres dimensiones, pero sin embargo sus propiedades físicas
indican que en algunos casos pueden tener un comportamiento mas cercano al de
un objeto en una o dos dimensiones. Métodos para encontrar la dimensión fractal Existen ecuaciones donde la dimensión
es un parámetro Este se puede despejar con lo que se tiene una forma general
para encontrar la dimensión de un objeto. Cualquier
ecuación donde aparezca la dimensión como parámetro se podría ver como un
candidato para encontrar la dimensión del objeto, Los métodos mas usados toman el objeto y lo engloban
dentro de algún cuerpo geométrico como una hiperesfera o un hipercubo y
aplican fórmulas que relacionan la cantidad total de elementos que caben en
el cuerpo geométrico y la cantidad de elementos que componen al objeto. Encontrar la cantidad de elementos que ocupan
completamente un cuerpo geométrico es normalmente fácil ya que existen ecuaciones directas para
encontrarlos calcular el numero de elementos que componen un
objeto fractal es mas complicado Métodos para calcular el numero de elementos que
componen un objeto fractal contar elemento por elemento, encontrar alguna ecuación que indique como crece el
objeto fractal, en el caso de los
objetos que se generan por agregación, generar una gran cantidad de
fractales y para cada fractal se mide cuantos objetos se agregaron y cual es
el radio de la esfera que lo engloba y luego se encuentra para cada agregado
su dimensión y se calcula la dimensión promedio de todos los agregados con lo
que se obtiene una buena aproximación a la dimensión real. Desde finales del siglo XIX y principios del XX se
contaba con métodos para encontrar dimensiones fraccionarias, aunque hasta el
descubrimiento de los fractales se veían como meras curiosidades Método
de Hausdorff a. Dado un objeto fractal se le engloba
completamente en una esfera ( o hiperesfera ) de radio r. b.
Se cuenta el numero de unidades elementales N que forman el objeto fractal. c. Como en un espacio euclidiano en general se tiene
que N = c rd y nuestro problema es encontrar d despejando queda: N/c = rd ln(N/c) = ln( rd ) ln(N/c) = d*ln( r ) d = ln (N / c) / ln ( r ) o sea que para encontrar la dimensión fractal de un
objeto se divide ln de N por una constante entre ln de r. Método
de Minkowski o de Cajas Si se toma un objeto ( linea, superficie, solido) y se recubre con pequeñas cajas de tamaño t, el numero de cajas necesarias para cubrir
completamente el objeto sin que se superpongan cajas depende de la dimensión
del objeto
Para tener
un recubrimiento real es necesario que
t sea cada vez menor y conforme el tamaño t disminuye el numero de cajas necesarias N aumenta dependiendo de la dimensión d aunque el tamaño del objeto sea constante.
En general N=
(1/ t)d el numero N
de cajas de tamaño t necesarias
para cubrir un objeto depende de su dimensión si se despeja d
queda que: d= ln (N)/ ln (1/t). Entonces para encontrar la dimensión fractal d de un objeto mediante el Método de
Minkowski o de Cajas lo que se hace es recubrir el objeto totalmente de cajas de tamaño t, contar cuantas cajas se necesitaron N, encontrar los logaritmos y calcular d= ln (N)/ ln (1/t). dimensión
fractal de
los polvos de Cantor en
cada uno de las iteraciones que se realizaron para obtener los polvos los
fragmentos miden 1/3 de los fragmentos de la iteración previa
El numero de cajas crece en potencias de 2 y su
tamaño cambia como potencias de 1/3, de donde la dimensión fractal del objeto
es d= ln(2n) / ln( 1/1/3n
) = ln(2n) / ln( 3n )
= ln( 2 ) / ln( 3 ) = 0.6309... Existen fórmulas matemáticas y modelos (principalmente
de Biología y Física) donde en forma cotidiana se ha utilizado la dimensión
de los objetos de estudio, aunque generalmente se han usado únicamente
dimensiones enteras ( tal vez
pocas personas lo han notado ya que estamos acostumbrados a manejar las
dimensiones 1, 2, 3, ..., n y simplemente por observación asumimos la
dimensión del objeto de estudio), desde que se
descubrieron los fractales se detecto que la explicación de un fenómeno dado
era mejor conforme la dimensión se acercaba a la dimensión fractal real. si en las diferentes fórmulas y modelos que dependen
de la dimensión de un objeto se utiliza su dimensión fractal, el modelo puede
explicar mejor el fenómeno estudiado. El Continuo Dimensional no nos cuesta trabajo visualizar espacio de 1, 2 o 3
dimensiones, y aun mas aceptamos que si un objeto se representa
con n dimensiones entonces se puede "ver" como un punto en un
espacio n-dimensional, Ahora bien, desde el surgimiento de los fractales
tenemos que aceptar que existen dimensiones fraccionarias como por ejemplo
1.37, o sea que,
ya no solo existen espacios con dimensiones 1,2,..., n sino también espacios
con dimensiones como 2.38, 1.47, 325, etc., aun mas
podemos postular que existen objeto que tiene dimensiones reales. Para cada x e (0,1)
podemos generar un fractal de dimensión x, como se puede ver si
tomamos la siguiente generalización de los polvos de Cantor propuesta por Gamma Z. Galindo Perez, sobre la posibilidad de tener polvos de
Cantor de diferentes dimensiones a. Tomamos una recta de tamaño T y le quitamos un
segmento proporcional q del
centro. (por ejemplo la tercera parte, la mitad, 2/3 o
cualquier otro valor entre (0,1) ) b. Tomamos cada uno de los segmentos resultantes y
les quitamos nuevamente del centro el segmento proporcional q. c. Seguimos repitiendo lo anterior, quedando finalmente una secuencia de polvos de Cantor como la siguiente: .
Si medimos el tamaño de un segmento y suponemos que
T = 1 tenemos que: en la primera iteración el segmento vale 1
Entonces si calculamos la dimensión fractal d de los polvos de Cantor propuestos
por Gamma Z. Galindo Perez, mediante el Método de Minkowski se tiene que
calcular d= ln (N)/ ln
(1/t). donde N= 2n t= (1-q)n / 2n o sea que d= ln (2n) / ln ( 1/((1-q)n/2n)
) d= ln ( 2n) / ln ( 2n / (1-q)n
) d= ln ( 2) / ln ( 2 /(1-q) ) la dimensión de los polvo de Cantor
depende de q despejando q
de la ecuación d= ln ( 2) / ln ( 2 / (1-q) ) queda q = 1-21-1/d entonces para cualquier dimensión candidata d
e (0,1) podemos encontrar un q
que genera polvos de Cantor de dimensión d con
lo que mostramos que para cualquier valor d entre (0,1) existe un objeto que tiene esa dimensión Y
como el intervalo (0,1) tiene un numero continuo de valores entonces existe
un continuo de dimensiones o sea que, podemos postular que existen espacios en los cuales se tienen
dimensiones reales, y que existen
tantas dimensiones como números reales, o sea que el universo esta
caracterizado por un numero transfinito de dimensiones. Aun mas, postulamos que vivimos en un continuo dimensional, o sea que no
tenemos un universo de 3, 4,... n dimensiones, sino un
universo en el cual se tiene un numero transfinito de dimensiones y lo mismo podemos tener objetos de dimensión 1, 2,
3,..., n dimensiones o de dimensión 3/4, 2/3, 8/3, p o x dimensión donde x es un numero real. A este espacio lo llamamos El Espacio continuo dimensional Esta concepción del continuo dimensional tiene sus
antecedentes en el desarrollo de la recta numérica, en el cual primero se
manejan los números naturales, luego los enteros, luego los racionales y
posteriormente los reales, con lo que se tiene una recta continua; exactamente lo mismo se plantea para el caso de
nuestra concepción del universo, ya que originalmente se manejan problemas en
una dimensión, dos dimensiones,..., n dimensiones y mas adelante en
dimensiones fraccionarias racionales y en dimensiones reales. Esta idea nos permite cuestionar y replantear todos
aquellos modelos en los que interviene como un parámetro la dimensión de
algún objeto, por lo que en general sentimos que es necesario
revisar nuestro modelo físico de la realidad, ya que esta basado en una
concepción del universo formado por un numero natural de dimensiones (aunque tal vez infinito pero no fractal o continuo
dimensional) y finalmente permite plantear la pregunta crucial ¿
que teoría del universo se puede desarrollar partiendo del concepto de
Continuo Dimensional?, tal vez, el
modelo fisico-biologico-informatico del universo esta por descubrirse. FUENTES
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