Sobre los números bcomplejos y los espacios bcomplejos

(Notas de Investigación)

www.fgalindosoria.com/transfinitoydinamicadimensional/Bcomplejos/numeros_y_espacios_Bcomplejos.pdf

 

Fernando Galindo Soria

www.fgalindosoria.com

 

Escuela Superior de Cómputo (ESCOM) del Instituto Politécnico Nacional

Av. Miguel Othón de Mendizábal y Av. Juan de Dios Bátiz s/n

Zacatenco, Cd. de México     07738 MÉXICO

fgalindo@ipn.mx

 

Tenayuca, Ciudad de México, Junio del 2005

Revisiones Septiembre del 2012, Enero del 2017

 

La Identidad de Euler

La fórmula más hermosa del mundo

e + 1 = 0

 

e = -1

-1 es un número Básico,
si denotamos B = -1

e = B

 

 

 

SOBRE LOS NÚMEROS BCOMPLEJOS

(Números base complejos)

 

 

Potencias enteras de –1

 

(-1)0 = 1

(-1)1 = -1

(-1)2 = 1

(-1)3 = -1

(-1)4 = 1

 

A (-1) lo denotaremos como B, quedando

 

B0 =  1

B1 = -1

B2 =  1

B3 = -1

B4 =  1

 

Para todo n elemento de los Naturales mas el 0

Bn =-1 si n es impar

Bn = 1  si n es 0 o par

 

Si tenemos potencias enteras negativas

B-1 = 1/B1= 1/(-1)1 = 1/(-1) = -1

B-2 = 1/B2= 1/(-1)2 =     1/1 = 1

B-3 = 1/B3= 1/(-1)3 = 1/(-1) = -1

B-4 = 1/B4= 1/(-1)4 =     1/1 = 1

 

Para todo n elemento de los Naturales tenemos

B-n = 1/Bn= 1/(-1)n = 1/(-1) = -1  si n es impar

B-n = 1/Bn = 1/(-1)n =      1/1 = 1  si n es par

 

De donde para todo n elemento de los Enteros

Bn = -1 =  B   si n es impar

Bn =  1 = -B   si n es par

 

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Números con Potencias racionales de –1,  Qcomplejos  Bq

http://www.fgalindosoria.com/transfinitoydinamicadimensional/Bcomplejos/Q/numeros_Qcomplejos.pdf

 

Potencias racionales de -1

Bq   donde q es un elemento de los números racionales Q

Bq = (-1)q

 

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Recordando las leyes de los exponentes[1], [2]

 

Para cualquier x y q= m/n,

xq = xm/n = (xm)1/n

o

 

 

 


En particular

 

 


o

 

 

 


o

 

    Bq = (-1)q

=  Bm/n = (-1)m/n

= (Bm)1/n= ((-1)m)1/n

 

También recordamos que

 

a1/n = b si y solo si a = bn

 

Si tenemos

ap/q = b

Y multiplicamos los exponentes de los dos lados de la expresión por q, queda

ap = bq 

 

 

 

Encontrar las raíces de un numero es equivalente a resolver un polinomio, que tiene máximo tantas raíces como el grado del polinomio

 

En particular la raíz cuadrada tiene máximo 2 raíces

Por ejemplo

 

91/2 = 3 o -3

 

O sea

91/2 = 3

o

91/2 = -3

 

Como se puede ver si multiplicamos los exponentes por 2, quedando

91 = 32    = 9

o

91 = (-3)2    = 9

 

 

Raíces racionales de números negativos

Para las potencias de –1 (y en general de cualquier numero negativo, también es valido)

(-1)1/2 = i  o  -i

 

Ya que

(-1)1/2 = i

(-1)1 = i2 = i * i = -1

 

e

(-1)1/2 = -i

(-1)1 = (-i)2 = (-i) * (-i) = i * i = -1

 

 

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Raíces cuadradas de –1    (-1)1/2  = B1/2 = i o -i

 

B0/2 = (-1)0/2 = 1

B1/2 = (-1)1/2 = i o -i

B2/2 = (-1)2/2 = ((-1)2)1/2 = (1)1/2 = 1 o -1

B3/2 = (-1)3/2 = ((-1)3)1/2 = (-1)1/2 = i o -i

B4/2 = (-1)4/2 = 1 o -1

B5/2 = (-1)5/2 = i o -i

B6/2 = (-1)6/2 = 1 o -1

B7/2 = (-1)7/2 = i o -i

...

 

En general

Bn/2  = 1 o –1  si  n es natural par o cero

        = i  o –i  si  n es natural impar

 

Por facilidad en lo que sigue solo se mostrara una raíz a menos que se requieran las dos

 

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Potencias de 1/n

B-n = B1/n

B1/1 = (-1)1/1 = -1

B1/2 = (-1)1/2 =  i

B1/3 = (-1)1/3 = -1

B1/4 = (-1)1/4 = (-1)(1/2) (1/2) = ((-1)(1/2) ) (1/2)  = i (1/2)    La raíz cuadrada de i

 

 

Si analizamos los naturales impares

B1/3 = (-1)1/3 = -1

B1/5 = (-1)1/5 = -1

B1/7 = (-1)1/7 = -1

B1/9 = (-1)1/9 = -1

B1/11 = (-1)1/11 = -1

....

 

Para todos los naturales impares

B1/(2n-1) = (-1)1/(2n-1) = -1

 

Para los naturales pares

B1/3 = (-1)1/3 = -1

B1/5 = (-1)1/5 = -1

B1/7 = (-1)1/7 = -1

B1/9 = (-1)1/9 = -1

B1/11 = (-1)1/11 = -1

....

 

Se presentan varios casos

 

 

 

Bp/q

B2/3 = (-1)2/3

B3/4 = (-1)3/4

 

B3/5 = (-1)3/5

….

B4/7 = (-1)4/7

 

B7/13 = (-1)7/13

 

Bq = (-1)q  donde q es racional

 

 

Álgebra de potencias racionales

 

B1/4 = (-1)1/4 = (-1)(1/2) (1/2) = ((-1)(1/2) ) (1/2)  = i (1/2)   La raíz cuadrada de i

B1/8 = B(1/4) (1/2) = (B1/4) (1/2)                                                         La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de i

B1/6 = B(1/2) (1/3) = ((-1)(1/2) ) (1/3)  = i (1/3)                    La raíz cúbica de i

....

 

B6/4 = (-1)6/4 = (-1)3/2 = (-1)(3) (1/2) = ((-1)3 ) (1/2)  = (-1) (1/2)  = i

....

B6/8 = (-1)6/8 = (-1)3/4

 

En general si q es un numero racional y q se puede representar como el producto

q= q1q2q3...qm   donde qi es un numero racional

 

entonces

Bq= {...{{{Bq1}q2}q3}...}qm}    

 

A todos los números de la forma Bq  los llamo números Qcomplejos

 

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Con el mismo razonamiento se desarrollan los siguientes números Bcomplejos (La B es de Base)

 

Números con Potencias Reales de -1   Br                 Rcomplejos

 

Números con Potencias complejas de -1   Bc           Ccomplejos

 

Números con Potencias Bcomplejas de -1   BBc      Bccomplejos

 

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SOBRE LOS ESPACIOS BCOMPLEJOS

 

B0/2 = (-1)0/2 =   1  es un punto en la recta R

B2/2 = (-1)2/2 = -1  es un punto en la recta R

 

Entre 1 y –1 se pueden formar la recta  [1, -1]  en R

 

 

 

 

B1/2 = (-1)1/2 =   i es un punto en la recta I

 

B3/2 = (-1)3/2 = -i es un punto en la recta I

 

Entre i  e –i  se pueden formar la recta  [i , -i] en I

 

 

Esta recta NO esta en el eje Y (No es lo que conocemos como el eje Y), esta en el eje I (Imaginario, complejo), que “visualmente” ocupen posiciones similares no quiere decir que sean lo mismo, el mismo comentario se aplica para todos los ejes y dimensiones Bcomplejas que se manejen en adelante (por ejemplo se muestran ejes que están a 60 grados, pero NO son ejes o puntos en el espacio real, son ejes y puntos en el espacio Bcomplejo, que se visualizan en espacios similares a los reales pero corresponden a punto y espacios Bcomplejos)

 

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El espacio complejo [1, -1] X [i,-i]  o  [B0/2  , B2/2 ] X [B1/2  , B3/2 ]

 

[1, -1] es ortogonal a  [i,-i] por lo que forman un  espacio de 2 dimensiones  [1, -1] X [i,-i]

 

 

 

B  o sea –1 es el numero fundamental de este espacio ya que las potencias (0/2, ½, 2/2, 3/2), de -1 nos dan los elementos base del espacio,  (B0/2 = (-1)0/2 = 1, B1/2 = (-1)1/2 = i, B2/2 = (-1)2/2 = -1, B3/2 = (-1)3/2 = -i)

 

la recta [1,-1] es (cambiando de notación) la recta [B0/2  , B2/2 ]

y

la recta [i,-i] es (cambiando de notación) la recta [B1/2  , B3/2 ]

y

el espacio

[1, -1] X [i,-i] es (cambiando de notación) el espacio  [B0/2  , B2/2 ] X [B1/2  , B3/2 ]

 

[B0/2  , B2/2 ] y [B1/2  , B3/2 ] son ortogonales

 

 

El espacio [1, -1] X [i,-i]  que conocemos como Espacio Complejo, se puede definir en termino de B.

[B0/2  , B2/2 ] X [B1/2  , B3/2 ]

 

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Espacios Qcomplejos,  Espacios con Potencias racionales de –1    Bq

 

Representación grafica de Bq

 

Si tengo un circulo de 360 grados de 1 a -1 se recorren 180 grados

 

B0/2 = (-1)0/2 =   1 queda a    0 grados   o sea (0/2) por 180

B1/2 = (-1)1/2 =   i  queda a  90 grados   o sea (1/2) por 180

B2/2 = (-1)2/2 = -1 queda a 180 grados   o sea (2/2) por 180

B3/2 = (-1)3/2 = -i  queda a 270 grados   o sea (3/2) por 180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Así como se representa B1/2 o  B2/2 se puede representar por ejemplo B1/4

 

B1/4 = (-1)1/4 , (1/4) por 180 queda a  45 grados

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En general  Bq = (-1)q  donde q es racional se puede representar como el punto que se encuentra a una distancia de 1 unidad del centro y a un ángulo de q por 180 grados

 

 

El punto que representa a B1/4 esta en un ángulo de 45 grados, si le sumamos 1 a la potencia se obtiene  B1+(1/4) = B5/4    

 

o sea que el punto simétrico a B1/4 es el punto B5/4 que se encuentra en el ángulo que esta a 225 grados

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En general el punto simétrico de un numero Bq es Bq+1 y se encuentran a 180 grados

 

 

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La recta [Bq, Bq+1]

 

Si se unen los puntos Bq y Bq+1 se forma la recta [Bq, Bq+1]

 

Recta [Bq , Bq+1]

 

Bq+1

 

Bq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como se comento anteriormente, estas rectas NO están en el plano real, están en el espacio Bcomplejo, que “visualmente” ocupen posiciones similares a las rectas en el plano real no quiere decir que sean lo mismo, son ejes y puntos en el espacio Bcomplejo, que se visualizan en espacios similares a los reales pero corresponden a punto y espacios Bcomplejos.

 

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Raíces de potencias de 2

 

Definimos in las raíces de potencias de 2 como

, " nÎ N È {0}

 

 

n = 0,  20= 1,  1/20 = 1/1

i0 = (-1)1/1 = -1

La raíz 1/20 de –1 es -1

 

n = 1,  21= 2,  1/21 = 1/2

i1 = (-1)1/2 = i = i01/2

La raíz 1/2 de –1 es i

i1 = i01/2

 

n = 2,  22= 4,  1/22 = 1/4

i2 = (-1)1/4 = ((-1)1/2)1/2 = i1/2 = i11/2

La raíz 1/22 de –1 es la raíz cuadrada de i,  i1/2

i2 = i11/2

 

n = 3,  23= 8,  1/23 = 1/8

i3 = (-1)1/8 = ((-1)1/4)1/2 = i21/2

La raíz 1/23 de –1 es la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de i,  i1/2

i3 = i21/2

 

n = 4,  24= 16,  1/24 = 1/16

i4 = (-1)1/16 = ((-1)1/8)1/2 = i31/2

i4 = i31/2

 

En general

in = in-11/2 , " nÎ N È {0}

 

Demostración

 

 

 

Las raíces de potencias de 2 son independientes entre si y forman un espacio con un numero infinito de dimensiones, las dimensiones i0, i1, i2, i3, i4, i5, ..., in, ....

 

Al espacio conformado por todas las dimensiones posibles de la forma in, " nÎ N È {0}, lo denomino espacio Qcomplejo, el numero de dimensiones Qcomplejo naturales, entera y racionales es infinito

 

 

Un punto en este espacio es de la forma:

X = åxj ij    o

(x0i0, x1i1, x2i2,......,xmim,.....)

 

 

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Números y espacios Rcomplejos,  con Potencias Reales de -1   Br

 

Existen espacios dimensiónales Rcomplejos transfinito dimensionales

 

Por ejemplo, el numero de dimensiones Bcomplejo trascendentes reales es transfinito y crean un espacio transfinito dimensional[3]

 

Para todos los números trascendentes[4]

 

(-1)1/r  no tiene raíces diferentes de (-1)1/r

 

O sea que el conjunto de todas las raíces r de –1, donde r es trascendente  (-1)1/r forman un espacio dimensional.

 

Ahora bien, el conjunto de los números reales trascendentes tiene cardinalidad trasfinita, por lo que todas las raíces r de –1, donde r es trascendente  (-1)1/r forman un espacio dimensional con un numero transfinito de dimensiones.

 

 

Así como se representa B1/2 o  B2/2 o B1/3  se puede representar por ejemplo  Br  donde r es un numero real trascendente.

 

Br = (-1)r    r por 180 queda a  180r grados

 

En general  Br = (-1)r  donde r es real trascendente se puede representar como el punto que se encuentra a una distancia de 1 unidad del centro y a un ángulo de r por 180 grados

 

El punto que representa a Br esta en un ángulo de 180r grados, si le sumamos 1 a la potencia se obtiene  B1+r = B(1+r)180 = B180+180r    

 

o sea que el punto simétrico a Br es el punto Br+1 que se encuentra en el ángulo que esta a 180 grados  de  Br 

 

En general el punto simétrico de un numero Br es Br+1 y se encuentran a 180 grados

 

 

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La recta real [Br, Br+1]

 

Si se unen los puntos Br y Br+1 se forma la recta [Br, Br+1] donde r es Real trascendente.

 

Recta [Br , Br+1]

 

Br+1

 

Br

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si r es trascendente la recta [Br, Br+1] es ortogonal a [B0/2  , B2/2 ] o  [1, -1]

 

 

Si r es trascendente la recta [Br, Br+1] describe una dimensión diferente a las tradicionales del plano complejo [1, -1] e [i, -i]

 

O sea que cada pareja [Br, Br+1], r elemento de los números reales trascendentes representa una dimensión

 

 

Al espacio conformado por todas las dimensiones posibles de la forma [Br, Br+1], lo denomino espacio Rcomplejo, el numero de dimensiones Rcomplejo naturales, entera y racionales, reales es mayor que infinito, ya que la cardinalidad de R es mayor que el infinito discreto de los números naturales

 

Como se comento anteriormente, estas rectas NO están en el plano real, están en el espacio Bcomplejo, que “visualmente” ocupen posiciones similares a las rectas en el plano real no quiere decir que sean lo mismo, son ejes y puntos en el espacio Bcomplejo, que se visualizan en espacios similares a los reales pero corresponden a punto y espacios Bcomplejos.

 

 

Con el mismo razonamiento se desarrollan los siguientes espacios Bcomplejos

 

Números y espacios con Potencias complejas de -1   Bc

 

Números y espacios con Potencias Bcomplejas de -1   BBc

 

 

 

 

 

Representación de los espacios Bcomplejos con la transformada Dimensión / Valor

http://www.fgalindosoria.com/transfinitoydinamicadimensional/dimensionvalor/dim_va2.pdf

http://www.fgalindosoria.com/transfinitoydinamicadimensional/dimensionvalor/dim_va2.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



[1] Leyes de los exponentes

 http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html

[2] Potencias y raíces de números reales

  http://blocs.xtec.cat/elcairat4eso2010/files/2010/09/potencias_raices.pdf

[3]  http://www.fgalindosoria.com/transfinitoydinamicadimensional/

 

[4] Un número trascendente, también número trascendental, es un número real1 que no es raíz de ninguna ecuación algebraica2 con coeficientes enteros no todos nulos.3 4 Un número real trascendente no es un número algebraico, pues no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Tampoco es número racional, ya que estos resuelven ecuaciones algebraicas de primer grado, al ser real y no ser racional, necesariamente, es un número irracional.5 En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.3 Los números trascendentes más conocidos son π y e.

En general, si tenemos dos cuerpos ( K , + , ) {\displaystyle \scriptstyle (K,+,\cdot )} {\displaystyle \scriptstyle (K,+,\cdot )}y ( L , + , ) {\displaystyle \scriptstyle (L,+,\cdot )} {\displaystyle \scriptstyle (L,+,\cdot )}de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que α L {\displaystyle \scriptstyle \alpha \in L} {\displaystyle \scriptstyle \alpha \in L}es trascendente sobre K {\displaystyle \scriptstyle K} \scriptstyle Ksi no existe ningún polinomio p K [ x ] {\displaystyle \scriptstyle p\in K[x]} {\displaystyle \scriptstyle p\in K[x]}del que α {\displaystyle \scriptstyle \alpha \,} {\displaystyle \scriptstyle \alpha \,}es raíz ( p ( α ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle p(\alpha )=0\,} {\displaystyle \scriptstyle p(\alpha )=0\,}).6

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable.7 O tiene la potencia del continuo.

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente