“...La segunda parte del libro trata de la orbivariedad (orbifold en inglés), una herramienta para entender simetrías. La orbivariedad se forma cuando un patrón en una superficie se dobla o enrolla para que cada punto, cada característica de ese diseño, tenga su correspondiente punto simétrico. El resultado es una forma geométrica, como una esfera, un cono o un cilindro, que muestra un ejemplo de cómo patrón se repite para lograr otro diseño, esta vez simétrico....”
http://espaciociencia.com/matematicos-revelan-secretos-sobre-el-arte-de-la-simetria/

Geometría de los acordes

Bruno Massare, clarin.com, Sabado 12 May 2007

“Desde hace siglos, músicos y filósofos procuran saber qué hace que notas y acordes combinados en una melodía suenen bien o mal. Un profesor de Princeton, Dmitri Tymoczko creó un modelo geométrico que permite ver y entender la estructura de la composición musical. Se trata del primer trabajo de música que ha publicado la prestigiosa revista Science en su historia...

...Para representar la forma en que interactúan acordes y notas musicales Tymoczko recurrió a la geometría no euclideana —se podría definir, a grandes rasgos, como la que se aplica a superficies y espacios curvos— para desembocar en lo que bautizó como orbitfold, un gráfico en el cual los acordes, que aparecen representados por puntos, y los contrapuntos, representados por líneas, se relacionan entre sí. Con ese fin, el autor desarrolló un algoritmo para hacer una traslación geométrica de las notas que forman los acordes, de manera que aparecen representadas como un punto en un espacio de varias dimensiones. Así, es posible visualizar una determinada secuencia de acordes conectados por líneas, y esas uniones permiten ver cómo se cambian las notas para pasar de un acorde a otro.”

http://www.clarin.com/suplementos/cultura/2007/05/12/u-01011.htm

Orbifold

“An orbifold is the object obtained by identifying any two points of a map which are equivalent under some symmetry of the map's group.”

http://mathworld.wolfram.com/Orbifold.html

The Geometry of Musical Chords

Dmitri Tymoczko, Science 7 July 2006: Vol. 313. no. 5783, pp. 72 - 74
“A musical chord can be represented as a point in a geometricalspace called an orbifold. Line segments represent mappings fromthe notes of one chord to those of another. Composers in a widerange of styles have exploited the non-Euclidean geometry ofthese spaces, typically by using short line segments betweenstructurally similar chords. Such line segments exist only whenchords are nearly symmetrical under translation, reflection,or permutation.”

(La Geometría de los acordes musicales

Dmitri Tymoczko

Un acorde musical se puede representar como un punto en un espacio geométrico llamado orbifold. Segmentos de línea representan asignaciones de las notas de un acorde a los de otro. Compositores en una amplia gama de estilos han explorado la geometría no euclidiana de estos espacios, generalmente mediante el uso de pequeños segmentos de línea entre acordes estructuralmente similares. Tales segmentos de línea sólo existen cuando los acordes son casi simétricas bajo traslación, reflexión, o permutación.)

http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/313/5783/72

The Geometry of Musical Chords
Dmitri Tymoczko

Supporting Online Material

http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/313/5783/72/DC1

ChordGeometries 1.1

“ChordGeometries represents chords and voice leadings in a variety of 3D geometrical spaces. You can enter chords on a MIDI keyboard or using the Keyboard window. Voice leadings between successive chords are represented by continuous paths in the spaces.”

http://www.music.princeton.edu/~dmitri/ChordGeometries.html

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INFORMATICS PROPERTIES / PROPIEDADES INFORMÁTICAS

Dimension Density and Frecuency Symmetry Form

Dimensión Densidad y Frecuencia Simetría Forma