De Fractales y Otros Bichos:
La Matemática de la
Naturaleza
(Rumbo a la Matemática Informática).
Fernando Galindo Soria.
Instituto Politecnico
Nacional
Cd. de México, México
Tel: 3-91-64-92
RESUMEN
En este trabajo se presenta una
introducción a la Matemática de la Naturaleza, incluyendo los fractales, la
Teoría de Caos y otras áreas
relacionadas.
Como primer punto se introduce el
concepto de Fractal y se describen sus propiedades de autosimilaridad y de
dimensión fraccionaria, a continuación se da una introducción a la Teoría del
Caos y se observa que el comportamiento
de un sistema caótico tiene una estructura fractal. Como siguiente punto se
introduce el concepto de Agregación, que es uno de los mecanismos fundamentales
para construir estructuras fractales y se observa que si un fenómeno de
agregación se lleva al límite se termina con un cristal, de donde se postula
que un fractal y un cristal son casos particulares de un fenómeno general.
A partir de los cristales se introducen
los pseudocristales como estructuras que "se ven" ordenadas como un
cristal pero que, sin embargo, no conservan las propiedades geométricas de los
cristales, lo que nos lleva a plantear que en un sistema se presenta un orden a corto plazo o cristalino y un orden
a largo plazo o pseudocristalino.
Finalmente, se observa que ciertos
fenómenos en los que interactuan 2, 'sustancias' diferentes en las cuales una
se quiere infiltrar en la otra para pasar de un lado al otro (como una
corriente eléctrica en un material X, un gas en un filtro, etc.), presentar un
comportamiento conocido como percolación que es un caso particular del
crecimiento fractal (también se le llama fractal lento).
De Fractales y Otros Bichos:
La Matemática de la
Naturaleza
(Rumbo a la Matemática Informática).
Fernando Galindo Soria.
Instituto Politecnico
Nacional
Cd. de México, México
Tel: 3-91-64-92
FRACTALES.
A mediados de los 70's un científico de
la IBM, Manderbrot propuso una nueva herramienta para modelar fenómenos de la
naturaleza, esta herramienta conocida como Fractal se introdujo rápidamente en
la informática, principalmente en la graficación y conforme ha pasado el tiempo
se le ha encontrado aplicaciones en muchas otras áreas incluyendo el
reconocimiento de formas y la modelación.
En general se puede considerar que un
fractal es un objeto que tiene la propiedad de autosimilaridad , o sea que si
tomamos el fractal y lo dividimos en sus componentes cada parte tiene las
características del todo, por ejemplo, si tomamos una piedra y la estrellamos
contra el suelo cada uno de los fragmentos resultantes se puede ver como una
piedrita, si a un árbol le quitamos una rama y la sembramos veremos que la
forma del árbol y de la rama es la misma, de donde se observa que tanto la
piedra como el árbol son autosimilares ya que sus partes son del mismo tipo que
el todo.
Cuando se planteo la existencia de los
objetos fractales se consideraba que eran objetos curiosos o raros, sin embargo
en la actualidad se plantea que prácticamente todos los objetos que existen en
la naturaleza tienen algún tipo de comportamiento fractal, de donde esta área a
surgido como una de las mas importantes de la Matemática actual.
Una de las cosas que mas sorprende a la
gente cuando se introduce en el área de los fractales se encuentra cuando se
calcula la dimensión de un objeto fractal y se encuentra que ésta normalmente
no es un número entero, con lo cual y de un golpe se cambia radicalmente
nuestra concepción de la realidad, ya que,
estamos acostumbrados a pensar en objetos de 1, 2, 3, ó más dimensiones
pero siempre dimensiones enteras, por lo que, es difícil conceptualizar objetos
con dimensiones fraccionarias de 1.66 ó 2.87.
Sin embargo, y conforme pasa el tiempo el
concepto de Fractal ha sido cada vez más aceptado por la comunidad científica, tal
vez gracias a sus espectaculares resultados en la graficación y cada vez se han
encontrado mas fenómenos en los cuales las ecuaciones o modelos toman en cuenta
la dimensión fractal del problema, por ejemplo en Física se encontró que las ecuaciones que describen la relación entre
la forma de un objeto y el sonido que emite al ser tocado dependen de la dimensión fractal del objeto,
ya que cuando se utilizaban las dimensiones enteras aproximadas los resultados
no eran aceptables. Otra área donde el resultado ha sido espectacular es la de
crecimiento poblacional (celular, urbano, químico) donde se ha podido modelar
en forma relativamente sencilla (mediante algoritmos recursivos) fenómenos que
normalmente requerían del manejo de sistemas de Ecuaciones no Lineales y un
soporte computacional muy sofisticado.
Estos resultados y otros más que se están
dando prácticamente en todo el mundo nos ha llevado a postular que el Universo
está regido por UN CONTINUO DIMENSIONAL
donde el número de dimensiones no es de tres, cuatro ó cualesquier otro número
entero, sino que EL ESPACIO tiene un
NUMERO CONTINUO DE DIMENSIONES y en su momento las ecuaciones o modelos que
describen algún fenómeno tienen que tomar en cuenta este hecho.
A pesar de que hace tiempo que surgieron
los fractales como una de las primeras áreas de la matemática que emerge del
interior de la Informática y en la actualidad su impacto es de tal magnitud
que, tal vez, transforme completamente nuestra concepción de la realidad, en el
campo de la enseñanza de la informática en México está ocurriendo una paradoja,
ya que seguimos cuestionando si se da o no cierto tema de matemáticas para la
física de hace 100 años y ni siquiera hemos oído hablar de esta herramienta
actual.
Si los fractales fueran el único caso de
Matemáticas de la Informática poco conocido o desconocido en general en México,
se podría paliar de alguna forma pero como se explicó anteriormente está
ocurriendo una Explosión de Nuevas Áreas y todas con un impacto más o menos
radical y realmente si no tomamos acciones curriculares a corto plazo tal vez
no perdamos la guerra informática en la trinchera computacional sino en la de
las Matemáticas y no porque no se les den Matemáticas a los informáticos sino
porque no se les dan las matemáticas de la Informática que son las que están
cambiando el concepto del mundo.
TEORÍA
DE CAOS
Por ejemplo, la Teoría del Caos es una de
las áreas de la matemática informática mas importantes y desconocidas que
existen actualmente, confundiéndose por ejemplo con el desorden, siendo que los
sistemas caóticos son sistemas de orden superior.
Se considera que un fenómeno tiene un
comportamiento caótico cuando se puede explicar o modelar con un número pequeño
de variables aleatorias, con la
característica de que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales
propician grandes variantes en el comportamiento final del fenómeno, tal es
el caso de los fenómenos meteorológicos, la Bolsa de Valores, la mezcla de
fluidos y de muchos otros procesos 'no controlables'.
Los sistemas caóticos requieren pocas
variables para modelar su comportamiento, por lo que son candidatos ideales
para tratarse mediante computadoras, utilizando principalmente números
pseudoaleatorios, sin embargo, al depender fuertemente de variaciones
extremadamente pequeñas en sus condiciones iniciales es necesario investigar
sobre su comportamiento para buscar sus
propiedades generales y tratar de entenderlos mejor.
En particular se ha encontrado que este
tipo de sistemas son un caso particular de los Sistemas Dinámicos (un área
'olvidada' de la Matemática Informática) y como tales se les pueden aplicar
algunos de sus conceptos, como el concepto de Atractor, o sea un punto de
convergencia de un fenómeno, bajo esta idea se ha detectado que el
comportamiento de un fenómeno caótico está restringido dentro de ciertos
marcos, ya que, por mucho que cambien de un problema a otro las trayectorias de
comportamiento, en todos los casos no estarán separadas entre sí más de lo que
permiten las características geométricas del espacio donde se desarrolla este
fenómeno (los vientos dependen de las propiedades físicas y la bolsa de las
económicas).
Desde el punto de vista informático uno de
los resultados más espectaculares de este tipo de fenómenos, es que, cuando se
'gráfican' las diferentes trayectorias de un fenómeno caótico y se obtienen
planos transversales que corten todas las trayectorias, el conjunto de puntos
obtenidos tienen una estructura fractal, o sea que el comportamiento de todo el
racimo de posibles trayectorias de un fenómeno caótico es un Fractal.
Algunas de las aplicaciones de la Teoría
del Caos se han dado en el estudio de los fluidos y principalmente en la
construcción de robots o mecanismos que siguiendo siempre una misma secuencia
preestablecida (números pseudoaleatorios) de acciones caóticas permiten repetir
un mismo proceso tantas veces como se desee, como es el caso de la mezcla de
pinturas, donde el color obtenido no sólo depende de la cantidad de colorantes
sino también del orden en que se combinan.
AGREGACIÓN
La relación entre fractales y sistemas
dinámicos (en particular atractores) no termina en la Teoría del Caos, sino que
vuelve a presentarse en otra de las grandes olvidadas: La Teoría de Cristales.
Dentro de los experimentos realizados
sobre agregación (de partículas, personas, células, etc.) en los laboratorios y
mediante computadora se ha detectado que dependiendo del 'grado de atracción'
de los entes que se están agregando entre sí se puede obtener desde un fractal
en forma de estrella filamentosa hasta un cristal, ya que conforme la atracción
hacia el centro es mayor, es menos probable que las partículas se queden en la
periferia, por lo que, tienden a cristalizarse, de donde podemos postular que tanto los cristales como los fractales son
casos particulares de un mismo fenómeno controlado por sus propiedades
dinámicas.
PSEUDOCRISTALES.
En el caso particular de los cristales
una de sus características se centra en el mantenimiento de un cierto orden y
simetría entre sus componentes, sin embargo, desde hace varios años se han
encontrado ejemplos de 'cristales' que no son cristales, ya que, 'cuando se
observan con lupa' no tienen las características simétricas de un cristal, sin
embargo, al mirarlos a nivel macro su comportamiento es cristalino, estos
Pseudocristales han causado una gran conmoción porque aparentemente tiraban los
fundamentos de la cristalografía, sin embargo, la explicación de su
comportamiento fue completamente inocua y abrió toda una área de investigación
sobre el concepto de orden ya de por sí cuestionado por la Teoría de Caos y su
'Orden Caótico'.
Dentro de este nuevo enfoque se observa
que las estructuras pueden presentar dos tipos de orden: un microorden, o sea
que cada elemento del sistema está ordenado y mantiene relaciones ordenadas con
su entorno y un macroorden en el cual, a pesar de que los elementos no
mantengan un orden cerrado entre ellos si pueden presentar un comportamiento
ordenado como un todo
AUTÓMATAS
CELULARES.
El estudio de este tipo de comportamiento
se puede complicar en grado sumo si no es un sólo tipo de elemento el que se
encuentra involucrado sino varios, ya que en ese caso los modelos informáticos
tienen que tomar en cuenta el comportamiento de cada uno de los elementos
involucrados y las interacciones entre ellos, llegando a los fenómenos de
Coevolución y en particular a los Autómatas Celulares.
Cuando uno observa el desarrollo de la
investigación en Informática en México se siente que los criterios para decidir
si se estudia o no un área se basan muchas veces en el rumor, la propaganda y
principalmente en la moda. Este es tal vez el motivo de que algunas de las
áreas mencionadas anteriormente no sean siquiera conocidas en México, ya que no
nos han dicho en forma masiva que están de moda, mientras no cambiemos esa
actitud y desarrollemos nuestras propias investigaciones sin esperar a hacerlo
cuando ya todo mundo lo está haciendo va a ser difícil que podamos competir en
el ambiente informático.
El caso de los autómatas celulares es un
claro ejemplo de la investigación porque todo mundo lo hace, a pesar de que ya
tienen antecedentes de medio siglo o antes, nadie los estudiaba en México a
pesar de todas sus aplicaciones.
A mediados de los 40's el matemático
húngaro John Von Neumann (tal vez el mayor matemático de este siglo) comienza a
investigar sobre la idea de maquinas que se autorreproducen, a partir de esta investigación
el mismo Von Neumann en los 50's propone los autómatas celulares como un gran
conjunto de autómatas capaces de interactuar entre ellos y con la
característica de que se puede autorreproducir, sin embargo, esta área se quedó
en el limbo (aparentemente por razones tecnológicas primero y económicas
después) y sólo se desarrolló el área lateral (y mucho menos conocida) de los
Sistemas de Autómatas.
Es en estos casos donde se ve el gran
poder del rumor, ya que, como Von Neumann fue el causante teórico del
desarrollo de las máquinas secuenciales, es común que se le "eche la culpa"
de que las computadoras actuales sean secuenciales y existan pocas maquinas en
paralelo, pero prácticamente nunca se menciona que él estableció también el
modelo de las máquinas en paralelo, proceso distribuido y máquinas que se
autorreproducen, con lo cual se le hecha la culpa de un desarrollo lineal cuyas
bases se encontraban en los problemas técnicos de su época y no en los
fundamentos matemáticos como nos hace creer este rumor, en fin, es uno más.
Es a principios de los 80's con el
proyecto japonés de la 5.- Generación que se rompe el bloqueo económico (ya
para esas fechas no era técnico) que impedía el desarrollo masivo de la
programación en paralelo y distribuida, cuando se empiezan a recuperar las
herramientas matemáticas de Von Neumann (que nuevamente surgieron dentro de lo
que es actualmente la Informática) y es hasta finales de 1988 donde 'se
descubre' los autómatas celulares en México, a pesar de múltiples intentos
aislados previos para que se investigara esta área (pero no estaba de moda),
bienvenidos los Autómatas Celulares y tal vez ya vamos lentos en su inclusión
dentro de los programas de estudio, ya que están en la base del Proceso Distribuido
y de la Inteligencia Artificial.
LINGÜÍSTICA
MATEMÁTICA.
Regresando al área de los fractales, una
gran cantidad de objetos de la naturaleza como: arboles, nubes, estrellas y
montañas que tienen estructura fractal son relativamente fáciles de representar
utilizando la Lingüística Matemática.
Esta área surge en 1957 con los trabajos
de Noam Chomsky sobre Gramáticas Generativo-Transformacionales, en los cuales
se modelan los fenómenos lingüísticos mediante una gramática compuesta por un
conjunto de reglas en las cuales se indica la estructura de las oraciones de un
lenguaje.
Prácticamente, desde su surgimiento la
lingüística matemática fue estudiada por lingüistas y por matemáticos, pero en
forma independiente y es alrededor de 1969 cuando surge el primer libro
'Construcción de Compiladores' de Gries donde se presenta su uso precisamente
para la construcción de compiladores con lo que comienza a utilizarse en la
informática.
Cuando uno revisa la literatura sobre Lingüística
Matemática (Lenguajes Formales, Teoría de Autómatas) se observa un ciclo
repetitivo desde principios de los 60's en el cual se enfatiza únicamente la
fundamentación matemática con un cúmulo muy grande de teoremas, demostraciones
y postulados (libros clásicos de matemáticas pero escritos por informáticos) y
cuando uno analiza los temarios encuentra una copia de esos libros, con lo cual
muchos cursos de Lingüística Matemática son cursos de matemáticas teóricas sin
ninguna vinculación real con la informática, ya que, el participante en éstos
nunca sabe para qué sirve, llegando a
oírse la opinión de algunos profesores que dicen que estos son únicamente
'cursos formativos'.
Lo anterior es a pesar del sinnúmero de
aplicaciones de los lenguajes y autómatas: en compiladores, editores, sistemas
operativos, nóminas, gráficación, reconocimiento de patrones y en prácticamente
todas las áreas de la Informática.
Es aquí donde se ve el efecto negativo de
la moda, ya que en México prácticamente desde sus inicios se manejó la
Lingüística Matemática y ya para 1979 se tenían programas de estudio donde se
integraba la herramienta matemática a la solución de los problemas de la
informática y en la actualidad ya se cuenta con herramientas, teorías y métodos
propios, los cuales se han difundido principalmente en los congresos de
Inteligencia Artificial y de Matemáticas.
Pero no se cuenta con los recursos
masivos de difusión, por lo que, aún ahora, a pesar de que ésta es un área en
la que somos líderes mundiales seguimos dando el curso según algún libro
extranjero atrasado con respecto a nosotros en varios años y por tal motivo
perdemos esos años (hasta que los métodos mexicanos aparezcan en el libro
extranjero) y en ese momento todo el desarrollo mexicano sobre Programación
Dirigida por sintaxis, generadores de sistemas y sistemas evolutivos se podrá
perder de un día para otro.
En particular muchos fractales pueden ser
representados mediante una gramática, con lo que se cierra un círculo. Por
ejemplo, la Lingüística Matemática y los Fractales se aplican a la generación
de paisajes y en particular con la ecuación lingüística S-->a*S*
se puede representar la estructura de múltiples elemento de la naturaleza al
extremo que la proponemos como una de
las ecuaciones fundamentales de la naturaleza.
MATEMÁTICAS
ORGÁNICAS.
El Código Genético o Doble Hélice es otro
tipo de estructura lingüística, la doble hélice fue descubierta a mediados de
los 50's y le valió el premio novel a sus descubridores y es el mecanismo con
el cual se transmite la información genética en los seres vivos. Una doble
hélice está formada por dos cadenas de aminoácidos entrelazadas de tal manera
que a cada aminoácido de cierto tipo A en una cadena le corresponde siempre un
aminoácido del Tipo B en la otra cadena, con lo cual si se tiene A en la
primera podremos asegurar que se tendrá B en la segunda.
Este mecanismo de transmisión de información
ha sido poco estudiado por los informáticos a pesar de estar en la base de la
Biotecnología y hace poco tiempo que se comenzó a trabajar en un área conocida
como Algoritmos Genéticos, en la cual a partir del modelo de comportamiento de
la doble hélice se han desarrollado métodos para hacer programas, basados en
que un algoritmo genético realiza varios tipos de actividades.
a) Duplica un código dado (por ejemplo un
programa).
b) Duplica un código transponiendo
algunas partes del código.
c) Introduce 'errores' aleatorios en el
código.
d) Construye un nuevo código a partir de
dos códigos viejos.
De tal manera que si, por ejemplo, se
quiere mejorar genéticamente un programa que ordene números, el proceso sería:
i) Se da un programa inicial.
ii) Se construyen genéticamente una gran
cantidad de programas a partir del inicial.
iii) Se eligen los 'mejores programas' y
se dan como entrada nuevamente al sistema repitiéndose el ciclo.
Se espera que después de un buen número
de generaciones se obtengan códigos mejorados.
Este tipo de métodos se han aplicado
principalmente para generar programas orientados a resolver problemas de
complejidad NP (problemas que conforme aumenta la cantidad de datos que manejan
aumenta enormemente los recursos que necesitan para resolverse y en los cuales los
algoritmos tradicionales son muy ineficientes) y los resultados han sido
espectaculares.
MÉTODOS
HEURÍSTICOS.
El problema 'clásico' de tipo NP es el
problema del agente viajero y consiste en encontrar la ruta mínima que une a
todas las ciudades que tiene que recorrer un vendedor. Se demuestra
matematicamente que si se encuentra una solución a este problema, esta solución
se puede aplicar para una gran cantidad de problemas.
Dentro de las Matemáticas de la
Naturaleza se han desarrollado otros métodos aparte de los genéticos para
atacar los problemas NP, en particular se tienen:
a) Los métodos de enfriamiento en los
cuales se simula el comportamiento de un material que se está enfriando.
b) Los métodos de pompas de jabón en el
cual se 'sumerge' en una tina con jabón el mapa de ciudades a visitar y las
pompas por tensión superficial tienden a encontrar la estructura mínima.
c) Los métodos de liga en los cuales se
hace pasar una liga de tal forma que vaya uniendo las ciudades de tal forma que
la distancia sea mínima.
En estos métodos nuevamente se vuelven a
encontrar las características de un sistema dinámico y en particular el
concepto de atractor.
TEORÍA
DE LA PERCOLACIÓN.
Otro tipo de problemas se presenta cuando
el recorrido se tiene que realizar en un ambiente hostil o al menos no amigable,
como es el caso de una sustancia que necesita cruzar una capa porosa. Este tipo
de problemas lo estudia otra de las áreas de la matemática de la naturaleza
conocida como Teoría de la Percolación (también llamada Fractal Lento).
La teoría de la percolación estudia los
fenómenos que se presentan cuando una sustancia quiere cruzar de un lado a otro
de un espacio cubierto por otra sustancia (como por ejemplo, el movimiento de
los electrones en algún material) e investiga en qué condiciones se puede dar y
en cuáles no la percolación (Percolación significa Infiltración).
Los métodos para resolver problemas de
percolación son 'relativamente' sencillos, pero también son extremadamente
tardados y han orillado al desarrollo de máquinas computadoras de propósito
específico sumamente poderosas como es el caso del computador europeo Percola.
REDES
NEURONALES.
Uno de los problemas de investigar por
modas es el hecho de que cuando algo ya está de moda es porque el 'estado del
arte' ya está muy avanzado y muy difundido, por lo que, es difícil competir en
la investigación y/o crear nichos tecnológicos. Este es el caso de otro de los
Grandes Olvidados: las Redes Neuronales.
Las Redes Neuronales fueron propuestas en
1943 por dos neurofisiólogos Mc Cullot y Pitts como un mecanismo para modelar
el funcionamiento del cerebro y hasta principios de los 70's se tiene una gran
cantidad de investigación sobre este tema, los problemas técnicos para
construir una 'neurona' física y algunos problemas sobre como 'aprendían' las
redes hicieron que esta área fuera quedando relegada, sin embargo, en México
durante toda la década de los 70's se siguieron realizando investigaciones
sobre el área, las cuales fueron muriendo por falta de apoyo o por problemas de
los investigadores.
Nuevamente es a principios de los 80's
con el surgimiento del proyecto japonés, donde tecnológicamente se hace
factible el desarrollo de las redes neurales y es a finales de los 80's donde
en México de repente mucha gente descubre las redes neuronales y se ponen a
estudiarlas, pero ya el golpe de 10 años de atraso se hace sentir y es necesario
enfatizar que ya vamos muy atrasados.
CONCLUSIÓN.
Como se puede observar de este vistazo a
vuelo de pájaro, el área de la Matemática de la Naturaleza es sumamente amplio,
mucha de ella ha surgido dentro de la Informática y está en sus fundamentos,
prácticamente no la conocemos, está revolucionando el estudio de la realidad y
es imprescindible su inclusión en las curricula de Informática si es que no nos
queremos ver desplazados definitivamente.