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UNA ECUACIÓN DE LA NATURALEZA Fernando Galindo Soria Escuela Superior de Computo (ESCOM) Instituto Politécnico Nacional Av. Miguel Othón de Mendizábal y
Av. Juan de Dios Bátiz s/n Zacatenco, Cd. de México 07738 MÉXICO fgalindo@ipn.mx Cd. de México, 1 de Junio de 1998
RESUMEN En este trabajo se muestra como aplicar la ecuación
lingüística S-->e*S* para
representar la estructura de múltiples elementos de la naturaleza, incluyendo
árboles, nubes, estrellas, montañas, caracoles y ríos; la ecuación S--> e*S* indica que S se puede sustituir por e* S* y S significa Sistema, e
es cualquier elemento del sistema, e* significa que se pueden tener tantos
elementos como se quieran y S*
indica que el sistema se puede llamar tantas veces como se quiera, por lo
que, es fácil de representar mediante un pequeño programa de computo con el
cual y dependiendo del valor de sus parámetros se pueden representar los
diferentes objetos de la naturaleza. Ahora bien, se ve que aunque la
ecuación es general, la forma de los objetos depende del valor que toman sus
parámetros, por lo que, mostramos como
generar diferentes tipos de objeto dependiendo del valor de sus parámetros y
como encontrar y aplicar el espacio de caos (o sea el espacio en el cual se
generan familias de objetos parecidos) asociado a cada tipo de objeto. Finalmente se ve que aunque esta
ecuación se uso inicialmente para representar y generar objetos naturales,
conforme paso el tiempo fue quedando claro que su aplicación es mas general.
Por lo que también en este trabajo se
generaliza el campo de aplicación de la ecuación y se muestra como se pueden
representar sistemas que tienen recursividad sobre la recursividad y que
tienen empleo por ejemplo en la Hermeneutica, los Sistemas Conscientes y la
generación de objetos clásicos de la teoría de Caos y Fractales como son los
fractales de Dragón. Finalmente es importante comentar
que lo que se esta mostrando es una ecuación de Lingüística Matemática con la
cual se pueden modelar y representar múltiples elementos de la naturaleza y
los ejemplos de graficación son solo ayudas para visualizar. INTRODUCCIÓN Dentro del área del tratamiento de
imágenes es común encontrar problemas donde se requiere generar paisajes en
los que se incluyan montañas, árboles, nubes, ríos y muchos otros elementos
de la naturaleza, por lo que, desde hace algún tiempo y en particular desde
el surgimiento de la teoría de Fractales se han desarrollado métodos y
técnicas orientados a resolver este tipo de problemas. Por ejemplo se tienen los trabajos
desarrollados por Prusinkiewics y otros [1; 9], S. Peralta y A. Simancas [2]
y E. Oppenheiner [3] sobre representación de plantas, arboles y
arbustos, el trabajo de Reed y Wyvill [10] donde se muestra como generar
rayos, el trabajo de R. Fowler y
otros [12] donde se ve como generan conchas marinas muy realistas, en fin el
trabajo de Kass y Miller [13] donde se muestra la generación de ondas de agua,
playas y montañas, el trabajo de Barnsley y otros [6; 8] donde utilizando
sistemas de funciones iterativas se generan plantas, nubes, montañas y
paisajes y los trabajos pioneros de A. Lindenmayer sobre sistemas-L que se
utilizan desde los años 70´s para la generación de plantas [1; 9] y de Benoit
Mandelbrot y Richard F. Voss sobre fractales donde se ve como generar nubes,
montañas y planetas aplicando generadores de números que siguen patrones
brownianos y 1/f [5; 7]. La mayoría de estos trabajos se
han desarrollado para resolver problemas específicos, ya que los métodos que
se utilizan para generar rayos, montañas, conchas, nubes o arboles son en
general diferentes entre si. Ahora bien en los trabajos de Marshall y otros
[14] y L. Max [15] sobre modelos procedulares ya se plantean métodos orientados
a la generación de múltiples tipos de objetos de la naturaleza y en los
trabajos de Mandelbrot y Voss [5; 7] y Barnsley y otros [8] se introducen
herramientas generales como los fractales, ruido 1/f y sistemas de funciones
iterativas con las cuales es factible generar múltiples tipos de elementos de
la naturaleza. En particular una cosa que me ha
llamado la atención desde los años 70´s es precisamente la búsqueda de
mecanismos generales para la representación de elementos de la naturaleza,
por lo que desde 1978 y a partir de las ideas de Lindenmayer sobre sistemas-L
y Noam Chomsky [16; 17; 18; 19] sobre gramáticas generativas, reglas de
producción y de reescritura comencé a buscar representaciones lingüísticas de los objetos de la naturaleza y de fractales
en general y ya para finales de los 80´s contábamos con una serie de reglas
gramaticales que representaban en forma independiente la estructura de
arboles, montañas y nubes [20; 21; 22; 23; 2]. En un principio las producciones
encontradas eran diferentes unas de otras pero conforme se siguió atacando el
problema se detectó que en muchos casos la regla gramatical encontrada era un
caso particular de una regla mas general. En principio esto no fue tan
extraño, ya que, por ejemplo se detectó que diferentes tipos de árboles
generaban reglas gramaticales diferentes, pero que se podían agrupar en una
regla gramatical mas general, por otro lado con las montañas sucedía algo
parecido y otro tanto con las nubes, por lo que al final se tenia una
producción general para árboles (para estructuras dendriticas) otra para
montañas y otra para nubes. La sorpresa surgió cuando se detectó que a su vez
todas esas producciones generales eran un caso particular de una regla
gramatical mas general aun, que las integraba a todas [24]. Ya que a mediados de 1992
encontramos que la estructura gramatical de múltiples elemento de la
naturaleza se puede ver como un caso particular de una regla general a la que
llamamos Ecuación General o Fundamental de la Naturaleza y es de la forma S
--> e* S* donde la flecha --> indica que S se puede sustituir
por e* S* (En general una regla de
reescritura a
--> b se interpreta como que a se puede sustituir
por b), S significa Sistema, e
es cualquier elemento del sistema, e* significa que se pueden tener tantos
elementos como se quieran y S*
indica que el sistema se puede llamar tantas veces como se quiera. Observe
que estamos utilizando el signo *
como un factor de repetición, lo cual no es una notación común dentro de las
reglas de producción, pero en este caso facilita la representación. Ahora bien conforme se ha seguido
estudiando las propiedades de esta ecuación se ha encontrado que aunque la
ecuación es general, la forma de los objetos depende del valor que toman sus
parámetros, por lo que, en este trabajo
mostramos como generar diferentes tipos de objeto dependiendo del valor de
sus parámetros y como encontrar y aplicar el espacio de caos (o sea el
espacio en el cual se generan familias de objetos parecidos) asociado a cada
tipo de objeto. Finalmente se ve que aunque esta
ecuación se aplico inicialmente para representar y generar objetos naturales
como árboles, montañas y nubes, conforme paso el tiempo fue quedando claro
que su aplicación es mas general. Por lo que también en este trabajo se generaliza el campo de aplicación de la
ecuación y se muestra como se pueden representar también objetos clásicos de
la teoría de Caos y Fractales como
son los fractales de Dragón. 1. DE
LA ECUACIÓN AL PROGRAMA. Ejemplos particulares de la
ecuación fundamental son: S --> e S --> S S --> e
e S --> e
S S --> S
e S --> e SS S --> e eS S --> e
eSS S --> e
SS ... S S --> e
SeeSe... S Como se puede ver la ecuación S--> e*S* representa objetos con estructura fractal y si se generaliza el
tipo de proceso (e) que se puede llamar representa algoritmos recursivos. El primer caso de la ecuación S--> e*S* se da cuando se tiene la ecuación S --> e
(que se lee el Sistema S
llama a e) y hacer un programa
a partir de este caso es directo, ya que la ecuación se representa
verticalmente y se pasa directamente a pseudocodigo Ecuación Pseudocodigo S S() --> { e e() } Un ejemplo muy simple de un
sistema que cumple con la estructura S --> e es por ejemplo el programa S() { linea(x0,y0,long,w) } Donde el elemento e corresponde a la instrucción linea(x0,y0,long,w)
o sea una rutina que dibuja una
linea a partir de las coordenadas (x0,y0) de tamaño long y con un ángulo w. Otro caso de la ecuación S--> e*S* se da cuando se tiene la
ecuación S--> e* que representa un sistema formado por puros elementos
(donde cada elemento puede ser un sistema completo). En particular se podría
tener S--> e1e2e3...en o sea una ecuación cuyos resultados
se obtienen al ejecutar e1
seguido de e2, e3,... y en. Como otro ejemplo se tiene la
ecuación S --> e S que es equivalente a un sistema que genera un elemento y se llama
recursivamente. Ecuación Pseudocodigo S S() --> { e e() S S() } Esta ecuación engloba por ejemplo
a la familia de las estrellas ya que la rutina S(x0,y0,long,w) { e(x0,y0,long,w) S(x0,y0,long,w+w1) } Gráfica una recta a partir de un
punto (x0, y0),
con un ángulo w y tamaño t y el ángulo se cambia entre
llamadas; por lo que al final la rutina genera estrellas.
Por otro lado y con un cambio
mínimo se genera la familia de los caracoles, para lo cual, únicamente se
necesita que el punto inicial (x, y) de la nueva recta sea el punto final de
la recta anterior.
Es importante observar que en el
caso de un sistema recursivo el proceso continua indefinidamente, por lo que si
esto se genera en una computadora es necesario introducir algún mecanismo que
permita detener el proceso, como por ejemplo una tecla de Escape, o por otro
lado detener el proceso cuando se cumpla alguna condición explícita como por
ejemplo que se cumplió un número prefijado de llamados. El siguiente caso particular de
S--> e*S* es la ecuación S--> eSS que representa el
llamado a un proceso (e) seguido de 2 llamados recursivos (SS): En particular con esta ecuación se
representa la estructura de árboles con 2 ramas, donde el elemento e
tiene como función dibujar troncos o ramas. Para dibujar un árbol con tres
ramas, simplemente se pondría una llamada recursiva más y así sucesivamente,
construir árboles con tres, cuatro, cinco o más ramas se vuelve trivial, ya
que su estructura queda: S --> e
SSS S --> e
SSSS .. S --> e SS.....S y en
general la estructura de cualquier árbol es de la forma S --> e S* y los programas son muy simples. Por
ejemplo hacer un programa a partir de
S--> eSSS es directo. Ecuación Pseudocodigo S S() --> { e e() S S() S S() S S() } Para concretizar el proceso es
necesario indicarle al sistema el tamaño del tronco (t), el lugar donde se
graficara (x,y) y el ángulo entre las ramas () Por ejemplo la
siguiente rutina
Observe que la ecuación general es
independiente de parámetros, pero la ecuación para dibujar objetos con n ramas
es una ecuación parametrizada de la forma S(x, y, t, ) e(x, y, t, ) S(Fi(x), Gi(y), Hi(t), Ii())* donde las funciones Fi, Gi, Hi, Ii
son las funciones de transformación de los parámetros y pueden ser de
cualquier forma. Por lo que, una representación mas completa para la rutina
S() es de la forma S(x, y, t, ) { e(x, y, t, ) S(F1(x), G1(y), H1(t),
I1()) S(F2(x),
G2(y), H2(t), I2()) S(F3(x),
G3(y), H3(t), I3()) } 2.-
ESPACIO DE CAOS Y PARÁMETROS. 2.1.- Espacio
de Caos Dependiendo del comportamiento de
las funciones se puede generar una gran cantidad de objetos. por ejemplo si
tenemos la siguiente rutina S(x, y, t, ) { e(x, y, t, ) ; x1=x-t*cos() ; y1=y-t*sen() t1=t/1.7 S(x1, y1, t1,
+w1) ; S(x1, y1, t1,
+w2) S(x1, y1, t1,
+w3) } Todos los parámetros tienen el
mismo comportamiento en los diferentes llamados excepto el ángulo. Si nos
ponemos a jugar con el ángulo podemos encontrar que si w1 = -w3 y w2 = 0 entonces se generan árboles simétricos
con tres ramas como los mostrados en las siguientes figuras:
Como se puede ver aun jugando con
un solo parámetro los resultado pueden ser disimbolos, en un caso se pueden
tener árboles "normales" (w 47), tipo cipreses
(w 5) o araucaria (w 85). Por otro lado si w es igual a 47 o
46 o 48 los árboles se parecen entre si.
Por lo que se tiene un espacio de ángulos
donde el comportamiento de los árboles es similar. O sea que se puede
encontrar un espacio de valores para los cuales los árboles que se generar
son parecidos o pertenecen a la misma familia. A un espacio de este tipo se
le llama espacio de caos. Por ejemplo y sin meternos en
mucha profundidad podríamos plantear que el espacio de caos donde la variable
w toma valores entre [1, 7] es el
espacio de los cipreses, [40, 60] es
el espacio de los árboles "normales" y [75, 89] es el espacio de las araucarias. 2.2.-
Generación de Espacios de Caos La forma de construir
computacionalmente un espacio de caos se reduce a manejar un generador de
números pseudoaleatorios, que en principio tienen distribución uniforme, pero
que puede tener prácticamente cualquier distribución. Si se cuenta con una rutina
random(n) que genera valores pseudoaleatorios entre 0 y n, generar un valor x
en el rango [a, b] se reduce a calcular
x= random(b-a)+a Por ejemplo la rutina S(x, y, t, ) {
e(x, y, t, ) x1=x-t*cos() y1=y-t*sen() t1=t/1.7 S(x1, y1, t1,
-(random(6)+1)) S(x1, y1, t1,
) S(x1, y1, t1, +(random(6)+1)) } genera cipreses porque su espacio
de caos esta entre [1, 7]. Pero si cambiamos el espacio de caos, cambia la
familia de elementos generados. Cuando se tiene un sistema de ecuaciones
donde algunas de las ecuaciones tiene un comportamiento aleatorio se dice que
se tiene un sistema caótico [25; 26; 27; 28; 29]. Aquí es importante distinguir
entre caos, orden y desorden ya que
es común que se confundan algunos de estos términos, por lo que entenderemos
por sistema ordenado a un sistema que se puede describir mediante un conjunto
de ecuaciones deterministicas. Cuando en el conjunto de ecuaciones una o
varias de estas son ecuaciones que toman valores aleatorios se dice que se tiene
un sistema caótico y cuando el número de ecuaciones aleatorias es
"grande" (donde grande es un concepto ambiguo ya que en algunos
casos puede significar 5 o 6 y en otros 40 o 50) o no se puede describir, o
no se sabe como describir el sistema mediante ecuaciones, entonces se dice
que se tiene un sistema desordenado. En general se considera que los sistemas naturales son caóticos, pero
no siempre es fácil encontrar su descripción matemática, para encontrarla se
tiene que encontrar la estructura del sistema (por ejemplo S e*S*), el comportamiento de las funciones involucradas
(por ejemplo e), los parámetros de estas funciones (por ejemplo x, y, t, ) y los espacios de caos en los que viven la estructura,
funciones y parámetros. Por ejemplo, la estructura de un
árbol puede vivir en un espacio de caos, donde cada que se va a generar una
rama existe cierta probabilidad de que no se genere, se muera, se genere o se
sustituya por una hoja o flor. Las funciones pueden tener múltiples tipos de
distribución y los parámetros tomar valores en espacios discretos o
continuos, por lo que, como se ve, con muy poco esfuerzo se arma todo un
"caos". Por lo que, desde hace varios años
en el área de los sistemas evolutivos [30; 31] se han desarrollando
herramientas orientadas a lograr que el sistema encuentre su propio espacio
de caos y lo actualice permanentemente. Estas herramientas parten de la
premisa de que un sistema esta permanentemente evolucionando ( o sea que no
existe una etapa de "aprendizaje" y otra de aplicación) y que por el puro hecho de que fluya la
información el sistema se modifica. Para ejemplificar lo anterior
podemos retomar el ejemplo de los árboles. mediante el enfoque evolutivo,
originalmente el sistema esta vacío y cuando
llega el primer árbol averigua sus parámetros y si el árbol es un
ciprés entonces la maquina toma los parámetros de árbol como el punto medio
de los cipreses. Cuando llega un segundo árbol lo mide con el ciprés y si no
son similares pregunta que tipo de árbol es. Si le decimos que es un ciprés
(o si originalmente encontró que era parecido al ciprés) recalcula la media y
la varianza de los cipreses, tomando en cuenta los valores del nuevo árbol. Si no es un ciprés o algún árbol
ya reconocido (por ejemplo es una araucaria) habré un nuevo cumulo. Y así
sigue permanentemente, cada que entra un nuevo elemento lo asocia con los
cúmulos existentes o crea un nuevo cumulo, pero siempre esta cambiando y
afinando los espacios de caos, con lo que el sistema evolutivo encuentra el
patrón de caos. 3.
PAISAJES Y DRAGONES. 3.1.-
Paisajes. Al continuar jugando con los
parámetros del sistema (en este caso x,y,l,w) el efecto que se obtiene es precioso,
ya que, cada uno de ellos al ser modificado puede ocasionar cambios radicales
en la forma de los objetos generados, con lo que, dos objetos con la misma
estructura interna (gramática) pueden tener una forma radicalmente diferente. Por ejemplos si comenzamos a jugar
con la rutina que genera árboles y hacemos que todas las ramas se inclinen en
la misma dirección en lugar de un árbol se tienen laderas, si seguimos
jugando con los parámetros podemos hacer que las ramas se enrollen con
ángulos muy cerrados generando objetos como nubes y piedras. Con lo cual
vemos que la misma ecuación con diferentes parámetros genera árboles, laderas
y nubes y estos al combinarse generan paisajes [24].
Aquí es importante comentar que lo
que se esta mostrando es una ecuación de Lingüística Matemática con la cual
se pueden modelar y representar múltiples elementos de la naturaleza y los
ejemplos de graficación son solo ayudas para visualizar. 3.2.-
Dragones y Sistemas Conscientes. Si continuamos analizando la
ecuación general de la naturaleza S-->
e*S* observamos que se puede sustituir e por un sistema recursivo A SA*S* Ae*S* Con lo que se tienen sistemas que
presentan recursividad sobre la recursividad, con lo que, se habré un espacio
de investigación enorme y que tiene por ejemplo aplicación en la Hermeneutica
[32] o sea el área que busca el significado real de las cosas y maneja como
herramienta un ciclo recursivo que consta del análisis del análisis del análisis. Otra área donde la recursividad
sobre la recursividad tiene aplicación es en el área de los sistemas
conscientes, los cuales fueron planteados en 1988 por Cuitlahuac Cantu, Ariel
Carboney y Raúl de la Rosa [33; 34]. Entre otras cosas en el área de
los sistemas evolutivos planteamos que un sistema para ser consciente debe
percibir lo que lo rodea, percibirse a si mismo y percibir que se percibe, La
percepción de lo que lo rodea y la percepción de si mismo son según el
investigador del Psicoanálisis Lacan dos casos particulares de un mismo
proceso (como los dos lados de una cinta de Moevius son al final un solo
lado) y son parte de los problemas que se atacan con los sistemas evolutivos.
Pero percibir que se percibe es una doble recursividad. También mediante los sistemas de
recursividad sobre recursividad se pueden generar fractales de dragón [35]
como:
donde cada elemento del fractal
original genera a su vez un fractal completo. CONCLUSIÓN. En este trabajo se presento una
propuesta de modelación de la realidad, basado en la integración de varios
paradigmas básicos: los sistemas evolutivos, la ecuación general de la
naturaleza y los sistemas caóticos. En primer lugar se planteo que existe
una ecuación de la forma S--> e*S* basada en la Lingüística Matemática que nos muestra que
múltiples fenómenos de la naturaleza tienen la misma estructura y que engloba a las ecuaciones que
representan la estructura de troncos, caracoles, estrellas, árboles, nubes y
montañas, entre otros. A partir de ahí se vio que, se
puede encontrar un espacio de valores conocidos como espacio de caos donde
los objetos que se generan son parecidos o pertenecen a la misma familia. Finalmente se mostró que si en la
ecuación S-->e*S* se sustituye e por un sistema recursivo A
se obtienen sistemas como: S-->A*S* A-->e*S* que representan sistemas que
tienen recursividad sobre la recursividad y que se aplican por ejemplo en la
Hermeneutica, los Sistemas Conscientes y la generación de objetos clásicos de
la teoría de Caos y Fractales como son los fractales de Dragón. FUENTES DE INFORMACIÓN. 1. Przemyslaw Prusinkiewicz,
Aristid Lindenmayer y James Hanan. Developmental Models of Herbaceous Plants for Computer Imagery Purposes.
Computer
Graphics, vol. 22, núm. 4, pag. 141, Agosto 1988. 2.
Sofia Bueno Peralta y Antonio Simancas López. Generador de Árboles Fractales. en Memorias del III Congreso
Nacional sobre Informática y Computación, Jalapa, Ver. México, Octubre 1990. 3.
Peter E. Oppenheimer. Real Time Design and Animation of
Fractal Plants and Trees. In Computer Graphics, vol. 20,
núm. 4, SIGGRAPH'86, Agosto de 1986. 4. Heinz-Otto Peitgen
and Dietmar Saupe (Editores). The Science of Fractal Images. Ed.
Springer-Verlag, 1988. 5.
Donald Hearn y M. Pauline Baker, Gráficas por Computadora 2.- Ed., Editorial Prentice Hall,
1995, México. 6. Michael Barnsley,
Fractals Everywhere, Ed. Academic
Press, Inc., 1988, Londres. 7. Martin Gardner,
White and brown music, fractal curves,
and one-over-f noise, en Scientific American, abril de 1978. 8. Michael F. Barnsley, Arnaud
Jacquin, Francois Malassenet, Laurie Reuter, Alan D. Sloan. Harnessing
Chaos for Image Synthesis. en Computer Graphics, Vol. 22
Núm. 4, Agosto 1988. 9. Przemyslaw Prusinkiewicz,
Mark James, Radomín Mech, Synthetic Topiary, en Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH 94,
pag 351. 10. Todd Reed,
Brian Wyvill, Visual Simulation of Lightning, en Computer Graphics Proceedings,
SIGGRAPH 94, pag 359. 11. Deborah R.
Fowler, Przemyslaw Prusinkiewicz,
Johannes Battjes, A Collision-based Model of Spiral
Phillotaxis, en Computer Graphics Proceedings, SIGGRAPH 92, pag 361. 12. Deborah R.
Fowler, Hans Meinhardt,
Przemyslaw Prusinkiewicz, Modeling seashels, en Computer
Graphics Proceedings, SIGGRAPH 92, .pag 379. 13. Michael Kass,
Gavin Miller, Rapid, Stable Fluid Dinamics for Computer Graphics, en Computer
Graphics, SIGGRAPH 92, vol. 24 núm. 4, pag 49, Agosto 1990 14. Robert Marshall, Rodger Wilson, Waine Carlson, Procedure Models for Generating
Three-Dimensional Terrain, Computer Graphics, SIGGRAPH 80 vol. 14 núm. 8,
julio 1980 15. Nelson L. Max, Vectorized Procedural Models for Natural Terrain Waves and Islands in
the Sunset, en Computer Graphics, SIGGRAPH 81, vol. 15 núm. 3, Agosto 1981. 16.
Noam Chomsky. Estructuras Sintácticas. Ed. Siglo XXI 17.
Emmon Bach. Teoría Sintáctica. Ed. Anagrama. 18. Salomaa. Formal Languages. Ed.
Academic Press. 19. Hopcroft
y Ullman, Formal Languages and Their Relation to Automatas, Ed. Addison-Wesley, 1969. 20.
Fernando Galindo Soria, El Continuo Dimensional: Un Universo
Fractal, Conferencia en el Congreso Nac. de Egresados de Física y
Matemáticas, 1989, La Trinidad Tlaxcala. 21.
Fernando Galindo Soria. De Fractales y otros Bichos: La Matemática
de la Naturaleza (Rumbo a la Matemática Informática), en Memorias del VI
Congreso Nacional sobre Informática y Computación, Octubre de 1993, Mérida,
Yucatán. 22.
Fernando Galindo Soria, Sistemas Evolutivos de la Naturaleza,
Conferencia Magistral en el Congreso Nacional de Ingeniería en Sistemas
Computacionales CONAISCO-90, en Hermosillo Son., abril de 1990 23.
Fernando Galindo Soria. Aplicación de la Lingüística Matemática y
los Fractales a la Generación de Imágenes. en Memorias del Simposium
Nacional de Computación. México, Nov. de 1991. 24.
Fernando Galindo Soria, Aplicación de la Lingüística Matemática a
la Generación de Paisajes, en Memorias del Simposium Internacional de
Computación, IPN-CENAC, México 1996. 25.
Edmundo Flores, La creación de la nueva ciencia del caos y
el ocaso de la Meteorología y de la Econometrìa. en El Búho tomo IV, núm.
26687, 15 de Julio de 1990. 26.
Monique Dubois, Pierre Aften y Pierre Bergé, El Orden Caótico,
en Mundo Científico vol. 7, núm. 68, pag. 429, Ed. Fontalba, S.A., Barcelona,
España. 27.
Etienne Guyon, Jean-Pierre Hulin e Yves Pomeau, La receta de la
mezcla: un poco de caos, en Mundo Científico vol. 7, núm. 75, pag. 1244,
Ed. Fontalba, S.A., Barcelona. 28.
Hermann Haken y Arne Wunderlin, El caos determinista, en Mundo Científico vol. 10, núm. 108, pag.
1215, Ed. Fontalba, S.A., Barcelona, España. 29. Julio M. Ottino,
Mezcla de Fluidos, en Investigación
y Ciencia, núm. 150, pag. 44, marzo de 1989. 30.
Fernando Galindo Soria. Sistemas Evolutivos. en Boletín de Política
Informática. México, Septiembre de 1986. 31.
Fernando Galindo Soria. Sistemas Evolutivos: Nuevo Paradigma de la
Informática. en Memorias
XVII Conferencia
Latinoamericana de Informática, Caracas Venezuela, julio de 1991. 32.
Marcela G. Bueno Días B., Hacia una Hermeneutica Informática,
memorias del Congreso Iberoamericano de Informática Educativa, tomo II, pag.
290, Santo Domingo, Rep. Dominicana, junio de 1992. 33.
Ariel Carboney Martínez. Del Desarrollo de Sistemas de Información
Tradicionales a la Generación Inferencial de Conciencia Autónoma Espontanea.
en Teoría y Práctica de los Sistemas Evolutivos, Edit. Jesús Olivares Ceja,
México, 1997. 34. Cuitlahuac Cantu,
Ariel Carboney y Raúl de la Rosa, Comunicación personal sobre
el área de los sistemas conscientes, 1988. Cd, de México. 35. Clifford A.
Pickover, Pattern Formation and
Chaos in Networks, en Communications of the ACM, vol. 31 núm. 2, pag.
136, Febrero de 1988. |
