REPRESENTACIÓN DE LA ESTRUCTURA PROFUNDA DEL RUIDO 1/f MEDIANTE LA ECUACIÓN DE LA NATURALEZA

Cd. de México a 9 de Junio del 2004

Ultima actualización 19 de Agosto del 2004

Fernando Galindo Soria

Escuela Superior de Cómputo (ESCOM) del Instituto Politécnico Nacional (IPN)

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Resumen

Los ruidos de colores representan patrones característicos de muchos fenómenos naturales y en particular el ruido 1/f o rosa se presenta en gran cantidad de fenómenos, como los terremotos, el comportamiento de la bolsa, distribución de montañas y muchos más[1][2][7], reflejando la estructura de los fenómenos donde aparece. Por lo que, en este trabajo analizaremos esa estructura y la representaremos gramaticalmente, para lo cual, se analiza el algoritmo de Richard F. Voss para generar ruido 1/f[1], tanto en su estructura superficial (lanzamiento de dados) como en su estructura profunda (generación de la secuencia en la que se lanzan los dados), mostrándose que su estructura profunda se puede representar mediante reglas de producción que son casos particulares de la ecuación de la naturaleza S->e*S*[10]

Palabras Claves: Ruido de Colores, Blanco, Browniano, 1/f, Ecuación de la Naturaleza, Lingüística Matemática, Reglas de producción.

1. CONCEPTOS GENERALES

1.1 Ondas y Espectro de Frecuencias

Los ruidos de colores abarcan desde lo que se conoce como ruido blanco o 1/f⁰ hasta el ruido browniano o 1/f² y el ruido negro o 1/f³[8], pasando por los flicker noises (o ruidos de centelleo) o 1/F^a donde 0<a<2, y en particular el ruido 1/f que se obtiene cuando a =1 y que es uno de los ruidos mas importantes en la naturaleza.

Para entender la diferencia entre todos estos tipos de ruidos es necesario tener una idea de lo que se conoce como análisis espectral[3][4], para lo cual partiremos del análisis de las ondas sinusoidales puras, como las que se generan mediante la función f(θ)= sen(θ) que tiene la forma mostrada en la figura 1.1.

Fig. 1.1 Grafica de la función seno(θ) con amplitud 1 y frecuencia 1

Algunas de las características que se toman en cuenta para el análisis de las ondas puras son la Amplitud, la frecuencia, y el desplazamiento de fase.

La frecuencia nos indica el numero de ciclos o repeticiones de la onda en un intervalo dado, por ejemplo en las Fig. 1.2 a, b, c se muestran ondas con frecuencia 1, 2 y 3.

	Fig. 1.2a Grafica de la función seno(θ) que nos muestra una onda con amplitud 1 y frecuencia 1
	Fig. 1.2b Grafica de la función seno(2θ) que nos muestra una onda con amplitud 1 y frecuencia 2
	Fig. 1.2c Grafica de la función seno(5θ) que nos muestra una onda con amplitud 1 y frecuencia 5

La amplitud es la altura de la onda, por ejemplo en la figura 1.3 se muestran tres ondas con la misma frecuencia y diferente amplitud.

Fig. 1.3 Grafica de las funciones seno(θ), 2seno(θ) y 3seno(θ) que nos muestra tres ondas con amplitud 1, amplitud 2 y amplitud 3 y frecuencia 1

Otras características de las ondas senosoidales puras son su comportamiento periódico o cíclico y el desplazamiento de fase.

El desplazamiento de fase ocurre cuando la onda no empieza en la coordenada cero, por ejemplo en las figuras 1.4 se ve una onda senosoidal desplazadas 45˚.

Fig. 1.4 Onda senosoidal con amplitud 1, frecuencia 1 y desplazamiento de fase de 45˚

En general una onda senosoidal se escribe como f(θ)=A*seno(f*θ+w) donde A nos indica la amplitud, f es la frecuencia, w es el desplazamiento de fase y θ es el valor de la función en un punto.

θ y w pueden estar dados en grados o en radianes, pero dentro del análisis de señales se manejan en general radianes, por lo que en la Tabla 1.1 se muestra la equivalencia entre algunos grados y radianes.

grados	radianes
0	0
45	p/4
90	p/2
180	p
360	2p
Tabla 1.1 Equivalencia entre grados y radianes

Por ejemplo la función 3seno(5θ+p/4) corresponde a una onda senosoidal con amplitud 3, frecuencia 5 y desplazamiento de fase de p/4 radianes o 45˚.

Ahora bien si se grafica la función f(θ)=coseno(θ) se observa que la onda generada es idéntica a la que se obtiene al graficar la función seno con un desplazamiento de fase de 90˚ o p/2 radianes, como se ve en las figuras 1.5a y 1.5b.

	Fig. 1.5a Onda senosoidal con amplitud 1, frecuencia 1 y fase de 90˚ o p/2 radianes
	Fig. 1.5b Grafica de la función coseno(θ) con amplitud 1 y frecuencia 1

Por lo que es equivalente usar la función seno o la función coseno con un desplazamiento de fase de p/2 radianes.

Las ondas que tienen comportamiento periódico o cíclico se caracterizan porque se repiten periódicamente, o sea que, cada 360˚ o 2p radianes la onda se vuelve a repetir, este comportamiento se refleja matemáticamente en que una función periódica f(θ) es idéntica a la función f(2p+θ), y en general para cualquier valor entero t se tiene que f(θ)=f(2pt+θ).

Por ejemplo las funciones seno(θ) y coseno(θ) generan ondas periódicas, o sea que coseno(θ)=coseno(2pt+θ) y seno(θ)=seno(2pt+θ) como se ve en la figura 1.6 donde se nuestra la función seno(θ) con periodo 1 y 3.

Fig. 1.6 Graficas de la función seno con periodos 1 y 3

Otra propiedad de las ondas es que se pueden sumar entre ellas dando origen a nuevas ondas como se ve en las figuras 1.7a y 1.7b.

	Fig. 1.7a Onda con amplitud 1 y frecuencia 1 Onda con amplitud 1 y frecuencia 2 Suma de dos ondas con la misma amplitud y frecuencia 1 y 2
	Fig. 1.7b Onda con amplitud 1 y frecuencia 1 Onda con amplitud 1 y frecuencia 2 Onda con amplitud 1 y frecuencia 3 Suma de tres ondas con la misma amplitud y frecuencia 1, 2 y 3

Se pueden sumar tantas ondas como se quiera dando lugar a sumas infinitas de senos y cósenos y como el seno es idéntico al coseno desplazado 90 grados o π/2 radianes, se tiene que estas ondas se pueden representar como sumas infinita de cósenos de la forma

f(t)= A₀ + A₁coseno(f₁ t- w₁) + A₂coseno( f₂ t- w₂) + A₃coseno( f₃ t- w₃)+……

o en general

f(t)= Σ A_i coseno( f_i t- w_i)

O sea que, la función f(t) esta formada por una suma infinita de ondas de la forma A_icoseno(f_i t- w_i), donde para la onda i-esima se tiene que A_i es la amplitud, f_i es la frecuencia, w_i es el desplazamiento de fase y en general se considera que t representa el tiempo trascurrido desde que se comenzó a generar la señal.

Por ejemplo en la figura 1.8a se muestra la grafica de la función

f(t)=1cos(1t)+2cos(2t) +3cos(3t) +4cos(4t) +…… +50cos(50t)

y en la figura 1.8b se muestra la grafica de

f(t)=3coseno(5t-p/2)+6coseno(7t+p)+4coseno(10t-p/3)+5coseno(14t+p/3)

	Fig. 1.8a Grafica de la función f(t)=1cos(1t)+2cos(2t)+3cos(3t) +4cos(4t) +…… +50cos(50t)
	Fig. 1.8b Grafica de la función f(t)=3coseno(5t-p/2)+6coseno(7t+p)+ 4coseno(10t-p/3)+5coseno(14t+p/3)

Ahora bien, si se tiene una señal representada como una suma de cósenos, se puede encontrar directamente lo que se conoce como espectro de la señal, para lo cual se generan dos graficas, una en que se relaciona la amplitud con la frecuencia y la otra que relaciona la fase con la frecuencia

Por ejemplo, en la Tabla 1.2 se muestra la relación que existe entre las frecuencias, amplitudes y fases de la función presentada en la figura 1.8b.

f(t)=3coseno(5t-p/2)+6coseno(7t+p)+4coseno(10t-p/3)+5coseno(14t+p/3)

y en las figuras 1.9a y 1.9b se presentan sus espectros de señal.

función f(t)	amplitud	frecuencia	fase
3 coseno( 5 t -p/2 )+	3	5	-p/2
6 coseno( 7 t +p )+	6	7	p
4 coseno(10 t -p/3 )+	4