RESUMEN
En este trabajo se muestra como aplicar la ecuación lingüística S-->e*S* para representar la estructura de múltiples
elementos de la naturaleza, incluyendo árboles, nubes, estrellas, montañas,
caracoles y ríos; la ecuación S-->
e*S* indica que S
se puede sustituir por e* S* y S significa Sistema, e es cualquier elemento del sistema, e*
significa que se pueden tener tantos elementos como se quieran y S* indica que el sistema se puede llamar
tantas veces como se quiera, por lo que, es fácil de representar mediante un
pequeño programa de computo, con el cual y dependiendo del valor de sus
parámetros se pueden representar diferentes objetos de la naturaleza.
Ahora bien, aunque la ecuación es
general, la forma de los objetos depende del valor que toman sus parámetros,
por lo que, mostramos como generar
diferentes tipos de objeto dependiendo del valor de sus parámetros y como
encontrar y aplicar el espacio de caos (o sea el espacio en el cual se generan
familias de objetos parecidos) asociado a cada tipo de objeto.
Aunque esta ecuación se uso
inicialmente para representar y generar objetos naturales, conforme paso el
tiempo fue quedando claro que su aplicación es mas general. Por lo que en este
trabajo se generaliza el campo de
aplicación de la ecuación y se muestra como se pueden representar sistemas que
tienen recursividad sobre la recursividad y que tienen empleo por ejemplo en la
Hermeneutica, los Sistemas Conscientes y la generación de objetos clásicos de
la teoría de Caos y Fractales como son los fractales de Dragón.
Finalmente es importante comentar
que lo que se esta mostrando es una ecuación de Lingüística Matemática, con la
cual se pueden modelar y representar múltiples elementos de la naturaleza y los
ejemplos de graficación son solo ayudas para visualizar.
INTRODUCCIÓN
Dentro del área del tratamiento de
imágenes es común encontrar problemas donde se requiere generar paisajes en los
que se incluyan montañas, árboles, nubes, ríos y muchos otros elementos de la naturaleza,
por lo que, desde hace algún tiempo y en particular desde el surgimiento de la
teoría de Fractales se han desarrollado métodos y técnicas orientados a
resolver este tipo de problemas.
Por ejemplo se tienen los trabajos
desarrollados por Prusinkiewics y otros [1; 9], S. Peralta y A. Simancas [2]
y E. Oppenheiner [3] sobre representación de plantas, arboles y
arbustos, el trabajo de Reed y Wyvill [10] donde se muestra como generar rayos,
el trabajo de R. Fowler y otros [12]
donde se ve como generan conchas marinas muy realistas, en fin el trabajo de
Kass y Miller [13] donde se muestra la generación de ondas de agua, playas y
montañas, el trabajo de Barnsley y otros [6; 8] donde utilizando sistemas de
funciones iterativas se generan plantas, nubes, montañas y paisajes y los
trabajos pioneros de A. Lindenmayer sobre sistemas-L que se utilizan desde los
años 70´s para la generación de plantas [1; 9] y de Benoit Mandelbrot y Richard
F. Voss sobre fractales donde se ve como generar nubes, montañas y planetas
aplicando generadores de números que siguen patrones brownianos y 1/f [5; 7].
La mayoría de estos trabajos se han
desarrollado para resolver problemas específicos, ya que los métodos que se
utilizan para generar rayos, montañas, conchas, nubes o arboles son en general
diferentes entre si. Ahora bien en los trabajos de Marshall y otros [14] y L.
Max [15] sobre modelos procedulares ya se plantean métodos orientados a la
generación de múltiples tipos de objetos de la naturaleza y en los trabajos de Mandelbrot
y Voss [5; 7] y Barnsley y otros [8] se introducen herramientas generales como
los fractales, ruido 1/f y sistemas de funciones iterativas con las cuales es
factible generar múltiples tipos de elementos de la naturaleza.
En particular una cosa que me ha
llamado la atención desde los años 70´s es precisamente la búsqueda de
mecanismos generales para la representación de elementos de la naturaleza, por
lo que desde 1978 y a partir de las ideas de Lindenmayer sobre sistemas-L y
Noam Chomsky [16; 17; 18; 19] sobre gramáticas generativas, reglas de
producción y de reescritura comencé a buscar representaciones lingüísticas de los objetos de la naturaleza y de
fractales en general y ya para finales de los 80´s contábamos con una serie
de reglas gramaticales que representaban en forma independiente la estructura
de arboles, montañas y nubes [20; 21; 22; 23; 2].
Inicialmente las producciones
encontradas eran diferentes unas de otras, pero conforme se siguió atacando el
problema se detectó que en muchos casos la regla gramatical encontrada era un
caso particular de una regla mas general.
En principio esto no fue tan
extraño, ya que, por ejemplo se detectó que diferentes tipos de árboles
generaban reglas gramaticales diferentes, pero que se podían agrupar en una
regla gramatical mas general, por otro lado con las montañas sucedía algo
parecido y otro tanto con las nubes, por lo que al final se tenia una
producción general para árboles (para estructuras dendriticas) otra para
montañas y otra para nubes. La sorpresa surgió cuando se detectó que a su vez
todas esas producciones generales eran un caso particular de una regla
gramatical mas general aun, que las integraba a todas [24].
A mediados de 1992 encontramos que
la estructura gramatical de múltiples elemento de la naturaleza se puede ver
como un caso particular de una regla general a la que llamamos Ecuación General
o Fundamental de la Naturaleza, esta ecuación es de la forma S
--> e* S* donde la flecha --> indica que S se puede sustituir por
e* S* (En general una regla de
reescritura a --> b se interpreta como que a se puede sustituir por
b), S significa Sistema, e es
cualquier elemento del sistema, e* significa que se pueden tener tantos
elementos como se quieran y S* indica
que el sistema se puede llamar tantas veces como se quiera. Observe que estamos
utilizando el signo * como un factor
de repetición, lo cual no es una notación común dentro de las reglas de
producción, pero en este caso facilita la representación.
Ahora bien conforme se ha seguido
estudiando las propiedades de esta ecuación se ha encontrado que aunque la
ecuación es general, la forma de los objetos depende del valor que toman sus
parámetros, por lo que, en este trabajo
mostramos como generar diferentes tipos de objeto dependiendo del valor de sus
parámetros y como encontrar y aplicar el espacio de caos (o sea el espacio en
el cual se generan familias de objetos parecidos) asociado a cada tipo de
objeto.
Finalmente se ve que aunque esta
ecuación se aplico inicialmente para representar y generar objetos naturales
como árboles, montañas y nubes, conforme paso el tiempo fue quedando claro que
su aplicación es mas general. Por lo que también en este trabajo se generaliza el campo de aplicación de la
ecuación y se muestra como se pueden representar también objetos clásicos de la
teoría de Caos y Fractales como son los
fractales de Dragón.
1. DE LA
ECUACIÓN AL PROGRAMA.
Ejemplos particulares de la ecuación
fundamental S --> e* S* son:
S
--> e
S
--> S
S
--> e e
S
--> e S
S
--> S e
S --> e SS
S --> e eS
S
--> e eSS
S
--> e SS ... S
S
--> e SeeSe... S
Como se puede ver la ecuación S--> e*S* representa objetos con estructura fractal y si se generaliza el
tipo de proceso (e) que se puede llamar representa algoritmos recursivos.
El primer caso de la ecuación S--> e*S* se da cuando se tiene la ecuación S --> e (que
se lee el Sistema S llama a e) y hacer un programa a partir de este
caso es directo, ya que la ecuación se representa verticalmente y se pasa
directamente a pseudocodigo
Ecuación Pseudocodigo
S S()
--> {
e e()
}
Un ejemplo muy simple de un sistema
que cumple con la estructura S --> e
es por ejemplo el programa
S()
{
linea(x0,y0,t,w)
}
Donde el elemento e corresponde a la instrucción linea(x0,y0,t,w)
o sea una rutina que dibuja una
linea a partir de las coordenadas (x0,y0) de tamaño t
y con un ángulo w.
Otro caso de la ecuación S--> e*S* se da cuando se tiene la
ecuación S--> e* que representa un sistema formado por puros elementos
(donde cada elemento puede ser un sistema completo). En particular se podría
tener S--> e1e2e3...en o sea una ecuación cuyos resultados se
obtienen al ejecutar e1
seguido de e2, e3,... y en.
Como otro ejemplo se tiene la
ecuación S --> e S que
es equivalente a un sistema que genera un elemento y se llama
recursivamente.
Ecuación Pseudocodigo
S S()
--> {
e e()
S S()
}
Esta ecuación engloba por ejemplo a la
familia de las estrellas ya que la rutina
S(x0,y0,long,w)
{
e(x0,y0,t,w)
S(x0,y0,t,w+w1)
}
Gráfica una recta a partir de un
punto (x0, y0),
con un ángulo w y tamaño t y el ángulo se cambia entre llamadas;
por lo que al final la rutina genera estrellas.
Por otro lado y con un cambio mínimo
se genera la familia de los caracoles, para lo cual, se necesita que el punto
inicial (x, y) de la nueva recta sea el punto final de la recta anterior.
Es importante observar que en el
caso de un sistema recursivo el proceso continua indefinidamente, por lo que si
esto se genera en una computadora es necesario introducir algún mecanismo que
permita detener el proceso, como por ejemplo una tecla de Escape, o por otro
lado detener el proceso cuando se cumpla alguna condición explícita como por
ejemplo que se cumplió un número prefijado de llamados.
El siguiente caso particular de
S--> e*S* es la ecuación S--> eSS que representa el llamado a
un proceso (e) seguido de 2 llamados recursivos (SS):
En particular con esta ecuación se
representa la estructura de árboles con 2 ramas, donde el elemento e
tiene como función dibujar troncos o ramas. Para dibujar un árbol con tres
ramas, simplemente se pondría una llamada recursiva más y así sucesivamente,
construir árboles con tres, cuatro, cinco o más ramas se vuelve trivial, ya que
su estructura queda:
S --> e
SSS
S --> e
SSSS
..
S --> e SS.....S
y en general
la estructura de cualquier árbol es de la forma S --> e S* y los programas son
muy simples. Por ejemplo hacer un programa a partir de S--> eSSS es directo.
Ecuación Pseudocodigo
S S()
--> {
e e()
S S()
S S()
S S()
}
Para concretizar el proceso es
necesario indicarle al sistema el tamaño del tronco (t), el lugar donde se
graficara (x,y) y el ángulo entre las ramas (q) Por ejemplo la siguiente rutina
|
S(x, y, t, q) { ; dibuja rama con
inicio en (x,y), tamaño t y
ángulo q e(x, y, t, q) ;calcula
los siguientes valores del sistema x1=x-t*cos(q) y1=y-t*sen(q) t1=t/1.7 ; llama recursivamente al sistema S(x1, y1, t1, q
-47) S(x1, y1, t1,
q) S(x1, y1, t1,
q +47) } |
Dibuja árboles como
|
Observe que la ecuación general es
independiente de parámetros, pero la ecuación para dibujar objetos con n ramas
es una ecuación parametrizada de la forma
S(x, y, t, q) --> e(x, y, t, q) S(Fi(x), Gi(y),
Hi(t), Li(q))*
donde las funciones Fi, Gi, Hi, Li
son las funciones de transformación de los parámetros y pueden ser de cualquier
forma. Por lo que, una representación mas completa para la rutina S() es de la
forma
S(x, y, t, q)
{
e(x, y, t, q)
S(F1(x), G1(y), H1(t),
L1(q))
S(F2(x), G2(y), H2(t),
L2(q))
S(F3(x), G3(y), H3(t),
L3(q))
}
2.-
ESPACIO DE CAOS Y PARÁMETROS.
2.1.-
Espacio de Caos
Dependiendo del comportamiento de
las funciones se puede generar una gran cantidad de objetos. por ejemplo si
tenemos la siguiente rutina
S(x, y, t, q)
{
e(x, y, t, q) ;
x1=x-t*cos(q) ;
y1=y-t*sen(q)
t1=t/1.7
S(x1, y1, t1,
q +w1) ;
S(x1, y1, t1,
q +w2)
S(x1, y1, t1,
q +w3)
}
Todos los parámetros tienen el mismo
comportamiento en los diferentes llamados excepto el ángulo. Si nos ponemos a
jugar con el ángulo podemos encontrar que si
w1 = -w3 y w2 = 0 entonces se generan
árboles simétricos con tres ramas como los mostrados en las siguientes figuras:
|
Árbol generado con |
Árbol generado con |
Árbol generado con |
|
w1=47,
w2=0, w3=-47 |
w1=5,
w2=0, w3=-5 |
w1=85, w2=0, w3=-85 |
|
|
|
|
Como se puede ver aun jugando con un
solo parámetro los resultado pueden ser disimbolos, en un caso se pueden tener
árboles "normales" (w @ 47), tipo cipreses (w @
5) o araucaria (w @ 85).
Por otro lado si w es igual a 47 o
46 o 48 los árboles se parecen entre si.
Por lo que se tiene un espacio de
ángulos donde el comportamiento de los árboles es similar. O sea que se puede
encontrar un espacio de valores para los cuales los árboles que se generar son
parecidos o pertenecen a la misma familia. A un espacio de este tipo se le
llama espacio de caos.
Por ejemplo y sin meternos en mucha
profundidad podríamos plantear que el espacio de caos donde la variable w toma
valores entre [1, 7] es el espacio de
los cipreses, [40, 60] es el espacio de
los árboles "normales" y [75,
89] es el espacio de las araucarias.
2.2.-
Generación de Espacios de Caos
La forma de construir
computacionalmente un espacio de caos se reduce a manejar un generador de
números pseudoaleatorios, que en principio tienen distribución uniforme, pero
que puede tener prácticamente cualquier distribución.
Si se cuenta con una rutina
random(n) que genera valores pseudoaleatorios entre 0 y n, generar un valor x
en el rango [a, b] se reduce a calcular
x= random(b-a)+a
Por ejemplo la rutina
S(x, y, t, q)
{
e(x, y, t, q)
x1=x-t*cos(q)
y1=y-t*sen(q)
t1=t/1.7
S(x1, y1, t1,
q -(random(6)+1))
S(x1, y1, t1,
q)
S(x1, y1, t1, q +(random(6)+1))
}
genera cipreses porque su espacio de
caos esta entre [1, 7]. Pero si cambiamos el espacio de caos, cambia la familia
de elementos generados.
Cuando se tiene un sistema de ecuaciones
donde algunas de las ecuaciones tiene un comportamiento aleatorio se dice que
se tiene un sistema caótico [25; 26; 27; 28; 29].
Aquí es importante distinguir entre caos, orden y desorden, ya que, es común
que se confundan algunos de estos términos, por lo que, entenderemos por
sistema ordenado a un sistema que se puede describir mediante un conjunto de
ecuaciones deterministicas. Cuando en el conjunto de ecuaciones una o varias de
estas son ecuaciones que toman valores aleatorios se dice que se tiene un
sistema caótico y cuando el número de ecuaciones aleatorias es
"grande" (donde grande es un concepto ambiguo ya que en algunos casos
puede significar 5 o 6 y en otros 40 o 50), o no se puede describir, o no se
sabe como describir el sistema mediante ecuaciones, entonces se dice que se
tiene un sistema desordenado.
En general se considera que los sistemas naturales son caóticos, pero no
siempre es fácil encontrar su descripción matemática, para encontrarla se tiene
que encontrar la estructura del sistema (por ejemplo S--> e*S*), el comportamiento de las funciones
involucradas (por ejemplo e), los parámetros de estas funciones (por ejemplo x,
y, t, q) y los espacios de
caos en los que viven la estructura, funciones y parámetros.
Por ejemplo, la estructura de un
árbol puede vivir en un espacio de caos, donde cada que se va a generar una
rama existe cierta probabilidad de que no se genere, se muera, se genere o se
sustituya por una hoja o flor. Las funciones pueden tener múltiples tipos de
distribución y los parámetros tomar valores en espacios discretos o continuos,
por lo que, como se ve, con muy poco esfuerzo se arma todo un "caos".
Por lo que, desde hace varios años
en el área de los sistemas evolutivos [30; 31] se han desarrollando
herramientas orientadas a lograr que el sistema encuentre su propio espacio de
caos y lo actualice permanentemente. Estas herramientas parten de la premisa de
que un sistema esta permanentemente evolucionando ( o sea que no existe una
etapa de "aprendizaje" y otra de aplicación) y que por el puro hecho de que fluya la
información el sistema se modifica.
Para ejemplificar lo anterior
retomamos el ejemplo de los árboles mediante el enfoque evolutivo,
originalmente el sistema esta vacío y cuando
llega el primer árbol averigua sus parámetros y si el árbol es un ciprés
entonces la maquina toma los parámetros del árbol como el punto medio de los
cipreses. Cuando llega un segundo árbol lo compara con el ciprés y si no son
similares pregunta que tipo de árbol es. Si le decimos que es un ciprés (o si
originalmente encontró que era parecido al ciprés) recalcula la media y la
varianza de los cipreses, tomando en cuenta los valores del nuevo árbol.
Si no es un ciprés o algún árbol ya
reconocido (por ejemplo es una araucaria) abré un nuevo cumulo. Y así sigue
permanentemente, cada que entra un nuevo elemento lo asocia con los cúmulos
existentes o crea un nuevo cumulo, pero siempre esta cambiando y afinando los
espacios de caos, con lo que el sistema evolutivo va encontrando el patrón de
caos.
3.
PAISAJES Y DRAGONES.
3.1.-
Paisajes.
Al continuar jugando con los
parámetros del sistema (en este caso x,y,t,q) el efecto que se
obtiene es precioso, ya que, cada uno de ellos al ser modificado puede ocasionar
cambios radicales en la forma de los objetos generados, con lo que, dos objetos
con la misma estructura interna (gramática) pueden tener una forma radicalmente
diferente.
Por ejemplos si comenzamos a jugar
con la rutina que genera árboles y hacemos que todas las ramas se inclinen en
la misma dirección en lugar de un árbol se tienen laderas, si seguimos jugando
con los parámetros podemos hacer que las ramas se enrollen con ángulos muy
cerrados generando objetos como nubes y piedras. Con lo cual vemos que la misma
ecuación con diferentes parámetros genera árboles, laderas y nubes y estos al
combinarse generan paisajes [24].
Aquí es importante comentar que lo
que se esta mostrando es una ecuación de Lingüística Matemática con la cual se
pueden modelar y representar múltiples elementos de la naturaleza y los
ejemplos de graficación son solo ayudas.
3.2.-
Dragones y Sistemas Conscientes.
Si continuamos analizando la
ecuación general de la naturaleza S-->
e*S* observamos que se puede sustituir e
por un sistema recursivo A
S-->A*S*
A-->e*S*
Con lo que se tienen sistemas que
presentan recursividad sobre la recursividad, con lo que, se habré un espacio
de investigación enorme y que tiene por ejemplo aplicación en la Hermeneutica
[32] o sea el área que busca el significado real de las cosas y maneja como
herramienta un ciclo recursivo que consta del análisis del análisis del
análisis.
Otra área donde la recursividad
sobre la recursividad tiene aplicación es en el área de los sistemas
conscientes, los cuales fueron planteados en 1988 por Cuitlahuac Cantu, Ariel
Carboney y Raúl de la Rosa [33; 34].
Entre otras cosas en el área de los
sistemas evolutivos planteamos que un sistema para ser consciente debe percibir
lo que lo rodea, percibirse a si mismo y percibir que se percibe, La percepción
de lo que lo rodea y la percepción de si mismo son según el investigador del
Psicoanálisis Lacan dos casos particulares de un mismo proceso (como los dos
lados de una cinta de Moevius son al final un solo lado) y son parte de los
problemas que se atacan con los sistemas evolutivos. Pero percibir que se
percibe es una doble recursividad.
También mediante los sistemas de
recursividad sobre recursividad se pueden generar fractales de dragón [35]
como:
donde cada elemento del fractal
original genera a su vez un fractal completo.
CONCLUSIÓN.
En este trabajo se presento una
propuesta de modelación de la realidad, basado en la integración de varios
paradigmas básicos: los sistemas evolutivos, la ecuación general de la
naturaleza y los sistemas caóticos.
En primer lugar se planteo que
existe una ecuación de la forma S--> e*S* basada en la Lingüística Matemática que nos muestra que múltiples
fenómenos de la naturaleza tienen la misma estructura y que engloba a las ecuaciones que representan
la estructura de troncos, caracoles, estrellas, árboles, nubes y montañas,
entre otros.
A partir de ahí se vio que, se puede
encontrar un espacio de valores conocidos como espacio de caos donde los
objetos que se generan son parecidos o pertenecen a la misma familia.
Finalmente se mostró que si en la
ecuación S-->e*S* se sustituye e por un sistema recursivo A se
obtienen sistemas como:
S-->A*S*
A-->e*S*
que representan sistemas que tienen
recursividad sobre la recursividad y que se aplican por ejemplo en la
Hermeneutica, los Sistemas Conscientes y la generación de objetos clásicos de
la teoría de Caos y Fractales como son los fractales de Dragón.
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