Instituto Politécnico
Nacional
Escuela Superior de Computo
(ESCOM)
INTRODUCCIÓN AL ESPACIO
DIMENSIÓN-VALOR
Fernando Galindo Soria
fgalindo@ ipn.mx
1.
Versión: Cd. de México, 20 de Abril de 1995
Actualización: 18 de
Septiembre de 1999
La representación gráfica de un punto en múltiples
dimensiones es un problema cotidiano
En el espacio
<dimensión, valor> o <d, v>,
objetos que normalmente se
representan como puntos y curvas en un espacio multidimensional se visualizan
como un conjunto de puntos en dos dimensiones, en la primera se colocan los números de las
dimensiones y en la segunda los valores que toma el objeto en esas dimensiones.
Por ejemplo, el punto caracterizado por dos
dimensiones
X Y
3 5
cuya representación en un espacio de coordenadas
<X, Y> es
en el espacio <d, v> queda como
En el caso de tres dimensiones la representación de un
punto como
X Y Z
3 5 2
En el sistema coordenado <X, Y, Z> es
Y en el sistema
<d, v> queda
Un punto en cuatro dimensiones se representa en <d,
v> como
Representar un punto con n dimensiones en-<d, v>
es directo
|
d1
|
d2
|
d3
|
....
|
dn
|
|
3
|
5
|
2
|
.....
|
5
|
La representación de puntos que tienen dimensión fraccionaria o fractal y no necesariamente entera es directa,
( como por ejemplo 1.37 o 2.45 )
en el
espacio <d, v> es directa,
-
por ejemplo si se tiene un punto en el espacio con
dimensiones fractales
< d1, d1.7, d2.83 >.
|
Dimensión
d1
d1.7
d2.83
|
Valor
3.5
3.85
1.47
|
su representación en <d, v> es
Cuando se habla de espacios con dimensión fraccionaria
real tenemos que tomar en cuenta que
la cantidad de números naturales ( o sea números que
toman valores de 1 a n) que existen se considera infinita y dado que se ha
demostrado que existen mas números reales que naturales, se dice que la
cantidad de números reales es transfinita,
por lo que, si consideramos que
se pueden tener tantas posibles dimensiones como
números reales entonces se puede tener un numero transfinito de dimensiones (a
un espacio formado por un numero transfinito de dimensiones también lo
llamaremos continuo dimensional).
Un punto en n dimensiones se ve como n puntos en
<d, v>
y un punto en un continuo dimensional se representa en
el espacio <dimensión, valor>
como un numero transfinito de puntos, segmentos de
recta o como una curva formada por múltiples segmentos de curva y en el mejor
de los casos como una curva continua.
O sea que en el extremo una curva en 2 dimensiones
(como por
ejemplo la gráfica del sonido o una serie de tiempo)
se puede considerar como la representación de un
objeto en n dimensiones
y si la curva es continua se puede ver como la
representación de un punto en un continuo dimensional.
Representar 2 puntos es directo.
|
Por ejemplos si se tienen los puntos
X Y
3 5
1 4
|
En un espacio <d, v> quedan
|
Si se tienen 3 puntos es lo mismo
|
por ejemplo si se tienen
X Y
3 5
1 4
2 2
|
En el espacio <d, v> quedan
|
En general si se tienen n puntos
|
como por ejemplo
X Y
3 5
1 4
2 2
.. ..
5 1
|
la gráfica quedaría
|
Sí los n puntos representan una recta discretizada
|
como por ejemplo
X Y
1 1
2 4
3 9
.. ..
n 2n
|
la gráfica quedaría
|
los puntos quedan ordenados en dos lineas rectas
generalizando podemos plantear que una recta continua
en 2 dimensiones queda representada como dos rectas en el espacio <dimensión
valor>.
|
como por ejemplo la ecuación
Y = 2X
|
quedaría como
|
En general una recta continua en n dimensiones queda
representada como n rectas en el espacio <d, v>.
Como se puede ver se tiene la puerta a un universo de
trabajo con múltiples posibilidades y que tiene la característica de que en
donde se mire se encuentran resultados y preguntas, ya que se puede seguir con
la representación de cualquier curva
o de objetos bidimensionales en espacios multidimensionales
y llegar a la representación de objetos
multidimensionales en espacios multidimensionales
y de objetos fractales en espacios fractales
o continuo dimensionales.
Planteándolo al revés, pasar de una curva (continua o discreta) en dos dimensiones a un punto
en un espacio multidimensional es directo,
una recta formada por n puntos se puede ver como un
punto en n dimensiones
y una curva continua
se puede representar como un punto en un continuo dimensional.
por ejemplo la curva que representa una señal (de
sonido, luz, presión, electrocardiograma, temperatura, imagen, etc.), se puede
ver como un punto en un continuo de dimensiones
y cuando se digitaliza lo que se obtiene es su
representación como
un punto en n dimensiones
Si la curva esta formada por dos puntos se representa
como un punto en dos dimensiones. Por ejemplos si se tiene la curva formada por
dos puntos.
|
X Y
1 3
2 5
|
|
Su representación en un espacio de dos
dimensiones <d1, d2> es directa
Una curva
formada por tres puntos
se puede ver como un punto en un espacio de tres
dimensiones.
Por ejemplos
la curva formada por los siguientes tres puntos
|
X Y
1 3
2 5
3 2
|
|
Se representa directamente en el sistema
coordenado <d1, d2, d3>
Si la curva esta formada por cuatro
puntos, como por ejemplo:
|
X Y
1 3
2 5
3 2
4 4
|
|
se puede
representar como un punto en un espacio de 4 dimensiones (3,5,2,4).
si
la curva tiene n puntos
|
X Y
1 3
2 5
3 2
.....
n 5
|
|
entonces
corresponde a
un
punto (3, 5, 2, ... ,5)
en
un espacio de n dimensiones
Por facilidad se mostraron ejemplos basados en curvas
en las cuales los puntos tomaban valores consecutivos de 1 a n en el eje de las
X´s,
sin embargo esta idea se aplica también para curvas en
general,
por ejemplo si se tiene la curva
|
X
1
1.7
2.83
|
Y
3.5
3.85
1.47
|
|
|
Se puede representar como un punto en un espacio
fractal,
(ya que una de las propiedades de los espacios
fractales es que sus dimensiones pueden se fraccionarias),
haciendo, por ejemplo que, los valores del eje X
correspondan a las dimensiones fraccionarias 1, 1.7 y 2.83
y la curva corresponde a un punto en el espacio < d1, d1.7, d2.83
>.
En general una
curva continua como
corresponde a
un punto en un espacio
formado por un numero transfinito de dimensiones o continuo dimensional
ya que, una curva continua esta formada por un numero
transfinito de puntos y por tal motivo corresponde a un punto en un espacio
formado por un numero transfinito de dimensiones.
Se esta planteando que una curva en 2 dimensiones y un
punto en un espacio multidimensional son equivalentes,
es decir asociado a cada curva existe un punto en un
espacio multidimensional y cada punto en un espacio multidimensional se puede
representar como una curva.
es indistinto ver un punto
en n dimensiones o una curva formada por n puntos
y mas general aun,
es indiferente ver algo
como una curva continua en dos dimensiones o como un punto en un continuo
dimensional
(una posible generalización de esta idea consiste en
visualizar curvas u objetos en espacios multidimensionales como puntos en
espacios multidimensionales).
Una de las aplicaciones mas interesantes de esta idea
se presenta en el área de la Física y en particular en la relación entre la
Mecánica Cuántica y la Ondulatoria,
ya que, precisamente uno de los problemas de la
investigación actual se presenta en el hecho de que existen fenómenos cuyo
comportamiento es al mismo tiempo ondulatorios y cuánticos o sea que se
comportan como ondas y como partículas o cuantos.
Y precisamente lo que se esta presentando en este
trabajo es que es indiferente ver algo
como una curva o como un punto,
lo cual nos permite, postular que tenemos una forma para ver indistintamente este tipo de
fenómenos (como la luz)
como un continuo de puntos
(onda luminosa)
o como un punto en un continuo dimensional
(donde, lo que percibimos
como cuanto de luz vendría siendo una proyección del continuo dimensional a
nuestro espacio de percepción).